大学物理（电磁学）知识梳理与例题选讲：§03 恒定电流
电流的微观机制
# 电流定义：
注意：电流不满足平行四边形法则，不是电流矢量，属于广延量（与外部量有关，如电流与取得截面面积有关）；但人为定义得反方向为：正电荷的移动方向为正方向。。
引入解决电流为广延量得问题
# 电流强度：是一个矢量
# 基本方程
## 电流方程
推导过程
### 例子求电荷的漂移速度
已知质量数M、密度ρ、阿伏伽德罗常数Na、元电荷e、电流I和截面面积S，求电荷的漂移速度（假设一个原子只有一个自由电荷）
电子数密度n
漂移速度比较慢（~10^{-5m/s）,电流（？）的速度为电荷整体移动
## 连续性方程
### 电流场：由电流强度所组成的场域
### 连续性方程的积分方程
注意：负号的来源可参考正电荷如下图
### 连续性方程的微分方程
稳恒电流的条件（不存在电荷积累）
电阻
# 欧姆定律
将广延量转换为强度量（仅仅与自身性质有关的量）
假设：忽略电子之间的吸引力，不忽略原子碰撞，且电子碰撞质子后为完全非弹性碰撞
电导率σ的单位与性质
## 电阻定律的推导与性质
### 单电阻的特性
- 电阻在不同方向不同
- 体积不变时，电阻的性质
- 正方形电阻的性质，有时只和厚度有关
- 伏安特性曲线（区别过原点直线与一般曲线的斜率特性与电阻关系，1/R = I/U）
二极管的伏安特性曲线（注意：击穿电压）
### 电阻串并联性质（条件：稳恒电流，即无电荷积累）
- 串联（串联电流相等无电荷积累）
- 并联（节点处的电流电荷无积累，即总流=支流之和）
# 焦耳定律
注意：需要判断电能是否全部转换为热能，不是全部转换时
复杂电阻问题
# 例子
## 例1：滑动变阻器
求滑动变阻器的变化规律
分析与推导
求解得
## 例2：复杂电阻的微分问题
### 例2.a：圆台问题
求解
### 例2.b：接地电阻问题（无穷大体积电阻问题）
在半球接地的底面上，求接地电阻
设微元为dr，求解
### 例2.c：电流密度问题
恒定电压u，求场强E
分析
求解电阻
求解思路与结果
## 例3：复杂电阻的微分问题——多电阻
### 例3.a
正方体每一条棱边都为电阻R，求下图AB的电阻
有些问题无法分解为简单的串并联电路的嵌套，如下图
接线法：利用等势降关系，分析电路关系
### 例3.b：数列型无穷网络
无穷多个相似电阻网络组成，求AB的电阻
分析电阻网络（）
可得电阻的递推关系，并求极限（不动点，即去到极限时$A = a_{n+1} = a_{n} => a_{n+1 = f(a_{n})）$
### 例3.c：晶格型无穷网络
求AB的电阻
分别单独在A、B外加电流I（叠加原理）
电源
电源的条件：电势差（稳恒）
# 例1：电源保持电流稳定传导的原因
原电池
# 非静电场
维持电流运动的场为非静电场K
- 方向：与场强E相反
## 电动势（区别静电场的电势，静电场为环路积分为0）
电动势与电势差的区别与推导
电动势的等式建立以及求解
一些外电阻与内阻的功率关系曲线
### 两类电动势
- 温差电动势（上下两半圆环材料不一致 ）
- 接触电动势（上下半圆环的密度不一致）
电路分析
# 基尔霍夫定律
- 节点定律（条件：稳恒电路）
- 回路定律（up主自定的命名）：沿着回路的电动势之和为0
此定律为能量守恒在电路中的体现
如下图例子
## 符号法则：
- 电阻（电势降低为-，电势升高为+）
- 电源（电势降低为-，电势升高为+）
- 电容（将电容器当成电阻分析，即顺着（原）电流方向为-，逆着（原）电流方向为+【电势降低为-，电势升高为+】）
up的自己理解：针对于充了电的电容的正负极可确定（电势降低为-，电势升高为+）
注意：电容器在放电时（up主的理解）
$I = -\frac{\diff q}{\diff t}$
其中q为电容的电量
## 基尔霍夫的求解思路
- 确定回路方向
- 确定电流方向（其为可假设一个方向）
- 方程数量：节点为m，则可列出m-1各独立的方程；网眼（最小的回路）为n，则独立方程为n个。总方程为n+m-1个
## 基尔霍夫定律的例子
求电流$I_{1}、I_{2}、I_{3}$的值
列出方程
求解结果为[更正后为]
$I_{1} = 0.16A ,I_{2} = 0.14A,I_{3} = 0.02A$
