高斯求和公式就是渣渣丨换种方法学初中数学#8 竞赛篇1

高斯求和公式,就是人人都听过的高斯求和1~100的故事里所用的公式,曾在小学奥数中屡次出现:
文字表达式:(首项+末项)x项数÷2
如1~100的和:(1+100)x 100÷2=5050,简单粗暴
然而到了初中,这个公式还那么实用吗?欢迎踏入初中数学竞赛的第一扇门:长式计算
先来看题

如果用高斯求和公式,项数难算先不说,答案就不对,因为高斯求和公式是有条件的,这种显然不符合高斯求和公式的要求。那这种长式计算如何解决呢?
1.找规律法,这是长式计算出现在选择和填空题的最快方法,方法特别简单,就是截取式子的一部分观察规律
如此题,先看1/2+1/4,计算得3/4
再看1/2+1/4+1/8,计算得7/8
很容易就能发现规律:加到1/n,答案就是(n-1)/n[当然只对本题而言]
所以答案就是4095/4096
2.补充法,这是标准做法
喜欢玩2048的童鞋一定明白2+2+4+8+16+32一路推上去的快感,这道题也蕴含了同样的道理,我们也可以让式子加上一个1/4096,1/4096+1/4096=1/2048,1/2048再加上前面的1/2048,又得到1/1024......无限接力下去,直到最后1/2+1/2=1,但是我们一开始多加了一个1/4096,所以要把这个给减去,所以答案是
1-1/4096=4095/4096
当然,这道题其实是我能找到的最简单的题目了,当年我也轻松地做出来了
当年虐我的那道竞赛题是这个

当时我尝试把四个部分的规律找出来计算,然而规律并不好找,这也是我把长式计算放到代数1后面讲的原因
秘技:3.代数法!
在面对长式计算时,我们可以把相同的部分用一个代数代替,来简化算式
这里的算式中1+1/2+1/3+1/4.....+1/2015最常见,所以我们设这个为S
原式可以简化为:[(S-1)+1/2016]S-(S+1/2016)(S-1)
展开:S²-S+(1/2016)S-S²-(1/2016)S+S+1/2016
惊奇的发现S互相抵消了
答案就是1/2016,同时也证明了这道题的S部分无论是什么鬼算式,答案都是1/2016

最后再来看一题

这道题很简单,我看到解析的时候,虽然解析的做法很易懂,但是太麻烦了,它用的是:
奥义!两式交叉法!
就是将每个括号内内的式子倒过来
使S1=1/2+(1/3+2/3)+(1/4+2/4+3/4)+.....+(1/50+2/50+....+49/50)
S2=1/2+(2/3+1/3)+(3/4+2/4+1/4)+...+(49/50+...+1/50)
上下两式一加,得2S=1225,S=612.5
然而这道题还是可以用找规律+高斯法
原式完全可以化成0.5+1+1.5+2+2.5....
显然n所在的括号总值为0.5(n-1)
因此原式一直加到24.5,用高斯公式
(0.5+24.5)·49·0.5=612.5
所以说长式计算的方法从来没有唯一,全看自己啊,不知不觉写了1200字了,大家再见。。。

啊呀才发现原来符号也算字数的,怪不得1200字这么短。。。