2018年考研数学(二)真题解析(高清大图)

2021-11-22 23:18 作者:梦醒南天 0人读过 | 我要投稿

一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）

（1）若 $%5Clim_%7Bx%5Cto0%7D(e%5Ex%2Bax%5E2%2Bbx%20)%20%5E%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%20%7D%20%3D1$ ，则

（A） $a%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2C%20b%3D-1%20$ .

（B） $a%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2C%20b%3D-1%20$ .

（C） $a%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2C%20b%3D1%20$ .

（D） $a%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2C%20b%3D1%20%20$ .

答案：B

（2）下列函数中，在 $x%3D0$ 处不可导的是

（A） $f(x)%3D%5Cvert%20x%20%5Cvert%20%5Csin%20%5Cvert%20x%20%5Cvert%20%20$

（B） $f(x)%3D%5Cvert%20x%20%5Cvert%20%5Csin%20%5Cvert%20%5Csqrt%7B%5Cvert%20x%20%5Cvert%20%7D%20$

（C） $f(x)%3D%5Ccos%20%5Cvert%20x%20%5Cvert%20$

（D） $f(x)%3D%5Ccos%20%5Csqrt%7B%5Cvert%20x%20%5Cvert%20%7D%20$

答案：D

答案：D

答案：D

答案：C

答案：C

答案：A

答案：A

二、填空题（9~14 题，每小题 4 分，共 24 分）

（9） $%5Clim_%7Bx%5Cto%E2%88%9E%7D%20x%5E2%5Barctan(x%2B1)-arctanx%5D%20%3D%20%20$ ___________ .

答案：1

（10）曲线 $y%3Dx%5E2%2B2%5Cln%20x%20$ 在其拐点处的切线方程是 __________ .

答案： $y%3D4x-3$

（11） $%5Cint_%7B5%7D%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%20-4x%2B3%7Ddx%3D%20%20$ __________ .

答案： $%5Cfrac%7B%5Cln%202%20%7D%7B2%7D%20$

（12）曲线 $%5Cleft%5C%7B%20x%3D(%5Ccos%20t)%20%5E3%2Cy%3D(%5Csin%20t%20)%5E3%20%20%20%5Cright%5C%7D%20$ ，在 $t%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B4%7D%20$ 对应点处的曲率为 __________ .

答案： $%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%20$

（13）设函数 $z%3Dz(x%2Cy)$ 由方程 $%5Cln%20z%20%2B%20e%5E%7Bz-1%7D%20%20%20%20%3Dxy$ 确定，则 $%20%5Cfrac%7B%E2%88%82z%7D%7B%E2%88%82x%7D%5Cvert_%7B(2%2C%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20)%7D%20%20%3D$ ________

答案： $%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%20$

（14）设 A 为 3 阶矩阵， $%5Calpha%20_%7B1%7D%EF%BC%8C%20%5Calpha%20_%7B2%7D%EF%BC%8C%5Calpha%20_%7B3%7D$ 为线性无关的向量组. 若 $A%5Calpha%20_%7B1%7D%3D2%5Calpha%20_%7B1%7D%2B%5Calpha%20_%7B2%7D%2B%5Calpha%20_%7B3%7D$ ， $A%5Calpha%20_%7B2%7D%3D%5Calpha%20_%7B2%7D%2B2%5Calpha%20_%7B3%7D$ ， $A%5Calpha%20_%7B3%7D%3D-%5Calpha%20_%7B2%7D%2B%5Calpha%20_%7B3%7D$ ，则 A 的实特征值为 __________ .

答案：2

三、解答题（15~23 小题，共 94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

（15）（本题满分 10 分）

求不定积分 $%5Cint%20e%5E%7B2x%7Darctan%5Csqrt%7Be%5Ex%20-1%7Ddx%20$ .

答案： $%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7De%5E%7B2x%7D%20%20arc%5Ctan%20%5Csqrt%7Be%5Ex-1%20%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D(e%5Ex%2B2%20)%20%5Csqrt%7Be%5Ex-1%20%7D%2BC%20%20$

（16）（本题满分 10 分）

已知连续函数 $f(x)$ 满足 $%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bx%7Df(x)dt%20%2B%20%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bx%7Dtf(x-t)dt%20%3D%20ax%5E2%20$ .

（Ⅰ）求 $f(x)$ ；

（Ⅱ）若 $f(x)$ 在区间 [0, 1] 上的平均值为 1，求 $a$ 的值 .

答案：（Ⅰ） $f(x)%3D2a(1-e%5E%7B-x%7D%20)$

（Ⅱ） $a%20%3D%20%5Cfrac%7Be%7D%7B2%7D%20$

答案： $3%5Cpi%20%5E2%2B5%5Cpi%20%20$

（18）（本题满分 10 分）

已知常数 $k%5Cgeq%20%5Cln%202%20%20-%201$ ，证明： $(x-1)(x-(%5Cln%20x)%20%5E2%20%2B2k%5Cln%20x%20-1%20)%5Cgeq%200$ .

（19）（本题满分 10 分）

将长为 2 m 的铁丝分为三段，依次围成圆、正方形与三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值 .

（20）（本题满分 11 分）

已知曲线 $L%3Ay%3D%5Cfrac%7B4%7D%7B9%7D%20x%5E2%20(x%E2%89%A50)%20$ ，点 $O(0%2C0)$ ，点 $A(0%2C1)$ . 设 $P$ 是 $L$ 上的动点， $S$ 是直线 $OA$ 与直线 $AP$ 及曲线 $L$ 所围成图形的面积. 若 $P$ 运动到点 $(3%2C4)$ 时沿 $x$ 轴正向的速度是 4，求此时 $S$ 关于时间 $t$ 的变化率 .

（21）（本题满分 11 分）

设数列 $%5Cleft%5C%7B%20x_%7Bn%7D%20%20%5Cright%5C%7D%20$ 满足： $x_%7B1%7D%20%3E%200%2C%20x_%7Bn%7De%5E%7Bx_%7Bn%2B1%7D%20%7D%3D%20%20%20e%5E%7Bx_%7Bn%7D%7D-1(n%3D1%2C2%2C...)$ . 证明 $%5Cleft%5C%7B%20x_%7Bn%7D%20%20%5Cright%5C%7D%20$ 收敛，并求 $%5Clim_%7Bx%5Cto%E2%88%9E%7D%20x_%7Bn%7D%20%20$ .

（22）（本题满分 11 分）

设实二次型 $f(x_%7B1%7D%2Cx_%7B2%7D%2Cx_%7B3%7D%20)%3D(x_%7B1%7D-x_%7B2%7D%2Bx_%7B3%7D)%5E2%20$ $%2B(x_%7B2%7D%2Bx_%7B3%7D)%5E2%20$ $%2B(x_%7B1%7D%2Bax_%7B3%7D)%5E2%20$ ，其中 $a$ 是参数 .