快学！向量妙招！三点共线定理！等和线！

一、三点共线定理

（1）当C为中点

（2）当C不是中点

想表示向量OC，看AB一共有几份，再看OC离OA,OB哪个近，离得近的那个向量占大的份数

什么时候用这个方法呢？（分解向量）

三个向量终点在同一直线上，且他们共起点

（将三角形内部向量转化到三角形边上去）

注：当C在AB延长线上时，即OC在三角形外，这个结论依然成立

eg.

又解：∵三点共线 ∴系数和为1 ∴排除CD

再根据CB离谁近谁系数大，得到CD系数应为3

∴选B

eg.要使分解后的向量尽量靠近目标向量

法一：三点共线

法二：向量减法

ps这里过程中也用到了三点共线

二、共线进阶：当3点不在同一直线上时

把不共线变为共线：伸缩 、平移

1、共起点但终点不在一条直线上——伸缩

2、不共起点也不在一条直线上——伸缩+平移

三、等和线（定值与最值问题）

若m+n=2，则÷2就能变回m+n=1

此时原来的OC变为1/2OC向量

三个向量终点所在直线就是等和线，在这条直线上m+n=定值

C点位置和m+n的值一一对应

1、确定OABC的位置

2、如何确定C点位置？过点C作AB平行线

eg.求定值

AG,和A到EC的距离的比例=1/x+y

ps.这里的1是指原始三点共线系数和为1

eg.求最值（曲线）

假设C在AB上，此时系数和为1

但此时C为弧AB上一动点，当C位于弧AB的切点时x+y最大

设当系数和为1时（C在AB上）OC=1，则OA=OB=根号2

则现在（C在弧AB上时）OC'=根号2

∴最后答案为根号2

改编：求x+2y的最大值

把2这个系数提出来，再构造一个新的向量=1/2OB向量