初二数学 八年级下册 人教版 2020最新版 部编版 统编版 同步课堂教学视频
平行四边形对边相等且平行
平行四边形对角相等，邻角互补
平行四边形对角线互相平分
几何语言：
因为AB//CD AD//BC
所以四边形ABCD是平行四边行（平行线判定）
因为AB=CD AD=BC
所以四边形ABCD是平行四边形（两组对边相等）
因为<A=<C,<B=<D
所以四边形ABCD是平行四边形（两组对角相等）
因为OA=OC, OB=OD
所以四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分）
一组对边平行且相等也可以判定这个四边形是平行四边形
因为四边形ABCD为平行四边形
所以AD＝BC＝12
角ADB＝角DBC
又因为OA等于二分之一AC
所以AO＝13
在RT△ADO中
OD＝根号下AO的平方-AD的平方
＝5
所以DB＝10
在RT△ADB中
AB＝根号下AD的平方+BD的平方
＝根号下144+100
＝根号下244
＝2倍根号61
S平行四边形ABCD＝2倍S△ADB
＝240
18.2.2.1菱形◇的性质
1.◇的对角线相等；
2.◇的对角线互相垂直，且每一条对角线都平分一组对角。
3.平行四边形一组邻边相等得到◇；
平行四边形一个角是直角得到矩形。
（声明：4、5两点为矩形与◇的比较）
4.矩形和◇都是轴对称图形。
5.矩形的四个角是直角（相等），而◇是四条边相等；矩形的对角线相等，而◇的对角线互相垂直。
6.解有关◇的题目的方法：
（1）将◇转化为△。
（2）将△转化为等腰△或直角△。
（3）再将等腰△转化为等边△。
（60°，AB＝BD）
（4）有时转化为直角△，利用有关直角△的定理进行解决问题。
7.◇的面积公式：对角线乘积的一半。
18.2.2.2菱形◇的判定
1.◇的判定：
（1）对角线互相垂直的平行四边形是◇。
（2）四条边相等的四边形是◇。
二次根式:
一般的，我们把√a（a≥0）的式子叫做二次根号
“√”成为二次根号
注:
被开方数a≥0
二次根式{
根指数为2
算术平方根的性质:
正向运用:（√a）²=a（a≥0）去根号的方法
逆向运用:a=（√a）²（a≥0）
把一个非负数或非负的式子写成完全平方式的形式
运用:√a²=a（a≥0）
性质推广：√a²=|a|
由基本运算符号把数或表示数的字母连接起来得到的式子叫代数式
二次根号的乘除
乘法:
一般的有√a·√b=√ab（a≥0，b≥0）
二次根式与二次更式相乘，等于被开方数相乘的算数平方根
反之：√ab=√a·√b（a≥0，b≥0）
注：本章中，若没有特别说明，所有的字母都表示正数
除法：
一般的有√a/√b=√a/b（a≥0，b≥0）
二次根式与二次根式相除，等于各被开方数相除的算数平方根
反之：√a/b=√a/√b（a≥0，b≥0）
最简二次根式：
⒈被开方数不含分母；
⒉被开方数中不得含有能开得尽方的因数或因式
化简过程：分母有理化
化简依据：二次根式的乘除运算，二次根式的基本性质，分数的基本性质
二次根式的加减
加减方法：将同类二次更实用分配律合并
注：再有理数范围IE内成立的运算律，在实数范围内仍然成立。
运算步骤：一化简、二判断、三合并
运算依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则
运算的基本思想：把二次根式加减问题转化成整式加减问题
一般的，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式（同类二次根式）进行合并
易错：化简（最简二次根式）和合并（同类二次根式）的环节
混合运算：与有理数、实数运算一样，在二次根式混合运算中先乘除，后加减（括号内能和并的话先算括号里的狮子）
勾股定理
三边关系：等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
直角三角形：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
三边关系：a ²＋b²=c²
证明方法：勾股定理的证明方法很多，常见的方法是拼图
如赵爽弦图，通过对图形的切割、拼接，利用面积关系证明了勾股定理。
用拼图的方法验证勾股定理的思路是：
⒈图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会有改变’；
⒉根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。
其他证明方法：
⒈传说中的毕达哥拉斯的证法
⒉美国第20任总统加菲尔德的证法
画图方法：
⒈利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边
⒉以原点为圆心，以无理数的斜边长为半径画弧线找到与数轴的交点，即可在数轴上找到表示该无理数的点
注：求点表示的数时注意画弧线的起点不从原点起，因而所表示的数不是斜边长。
利用勾股定理解决实际问题的一般思路：
⒈正确理解实际问题的题意；
⒉建立对应的数学模型；
⒊解决相应的数学问题；
⒋将数学问题的结果“翻译”成实际问题的答案。
勾股定理的逆定理
定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a²＋b²=c²那么这个三角形是直角三角形
作用：判定一个三角形三边满足什么条件时为直角三角形
注：像8,15,17这样，能成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数
对比：
注：任何一个命题都有逆命题；原命题是真命题，其逆命题不一定是真命题。
平行四边形
平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
注：平行四边形的定义既是判定又是性质
基本元素：
平行四边形的性质定理：
平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分
距离的概念：
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离
平行四边形定理：平行四边形的对角线互相平分
平行四边形的判定：
⒈两组对边分别相等的四边形是平行四边形
⒉两组对角分别相等的四边形是平行四边形
⒊对角线互相平分的四边形式平行四边形
⒋一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC的中点，连接DE。像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
三角形的中位线定理：
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
特殊的平行四边形：
矩形：
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
矩形的性质：
⒈矩形的四个角都是直角
⒉矩形的对角线相等
由矩形的性质可得三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
矩形的判定定理：
⒈对角线相等的平行四边形是矩形
⒉有三个角是直角的四边形是矩形
菱形
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
性质：
⒈菱形的四条边都相等
⒉菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线相等并平分一组对角
判定定理：
⒈对角线互相垂直的平行四边形是菱形
⒉四条边相等的四边形是菱形
正方形
定义：
⒈有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
⒉正方形的四条边都相等，四个角都是直角
注：正方形既是矩形又是菱形
性质：
⒈正方形的四个角都是直角
⒉正方形的对角线相等
⒊正方形的四条边都相等
⒋正方形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
注：正方形既有 矩形的性质又有菱形的性质
判定：
1.对角线相等的菱形是正方形。
2.有一个角为直角的菱形是正方形。
3.对角线互相垂直的矩形是正方形。
4.一组邻边相等的矩形是正方形。
5.一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
6.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。
7.对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。
8.一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。
9.既是菱形又是矩形的四边形是正方形 。
正方形既是中心对称，图形也是轴对称图形，有四条轴对称
变量与函数
量的分类：数值不断变换的量→变量
数值固定不变的量→常量
注：当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应（两个变量互相联系）
- 函数的定义：
一般的，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么x是自变量，y是x的函数
如果当x=a，对应的y=b
那么b叫做当自变量的值为a时的函数值
⒉自变量可以取的数值范围叫函数的自变量取值范围
⒊用关于自变量的思想式子表示函数与自变量之间的关系，这种式子叫函数的解析式（如：s=60t）
⒋函数的三种表示方法：
解析式法、列表法、图像法
注：确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义
函数图象
函数图象是坐标平面上以自变量的值为横坐标、以对应的函数值为纵坐标的点组成的曲线，函数图象直观的反映了变量之间的对应关系和变化规律
描点法画函数步骤：
1.列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
2.秒点——在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，描出表格中数值对应的各店；
3.连线——按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的个点用平滑曲线连接起来。
判断一个点是否在某个函数的图象上：
若一个点的横、仲坐标满足某个函数的解析式，那么这个点就在这个函数图象上；若不满足，则不再。
三种表示方法：
列表法——可以清楚地列出一些自变量和函数的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果；
解析式法——可以从数量关系的角度明确自变量与函数的对应关系；
图象法——可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色。
正比例函数
一般的，如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数
一般的，正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，称他为直线y=kx，当k>0时，直线y=kx经过第三、第一象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；当k<0时，直线y=kx经过第二、第四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小。
画正比例函数图象的简便方法：
过原点（0,0）和点（1，k）（k是常数，k≠0）的直线，得到正比例函数y=kx的图象（两点确定一条直线）
