漫谈三角函数(1)

在我的记忆里,三角函数是从初中的平面几何里开始接触的,给定一个直角三角形ABC,对其一个锐角B而言,

AC/BC称为∠B的正弦,记为sinB;

AB/BC称为∠B的余弦,记为cosB;

AC/AB称为∠B的正切,记为tanB;

AB/AC称为∠B的余切,记为cotB.

   于是就有了平时所谓"对边比斜边;邻边比斜边;对边比邻边;邻边比对边"的说法,从此就觉得三角函数的确是名副其实的,孰不知这种理解是有失偏颇的,当然这是后话,暂且不表.

   紧接着遇到了解直角三角形问题,知道了像30°,45°,60°,90°等特殊角的各类三角函数值,还有勾股定理,后来又是解斜三角形,通常可以将其转化为解直角三角形的问题,也就有了余弦定理,正弦定理,至此,我的心里就觉得三角函数不过如此,也就是函数种类多些,边角关系复杂些,别的倒没啥可怕!

   可到了高中阶段,学完了集合,不等式,函数及其性质之后,竟然又专门列出一章内容:任意角的三角函数,虽然名称还是三角函数,但隐隐约约总觉得跟初中的三角函数不大一样,连章头的引例也别有意味:给出的钱塘潮!内容一开始,就让角的概念大大地扩展了,成了任意角,有正,有负,还有零,而且不单单用度来表示角的大小,还引入了弧度的概念,使我们知道了π/6,π/4,π/3,π/2等等特殊角.让角的弧度与实数之间建立了一一对应,于是三角函数就顺理成章地变成了实数集上的函数,这样也就和我们之前学习过的正比例函数,反比例函数,一次函数,二次函数等常见函数没有本质的区别了.只是由于角自身的特殊性,我们有了运动观点下的角的概念:一条射线绕着它的端点旋转,逆时针形成正角,顺时针形成负角,没有旋转就是零角,而且我们不能只关注最终的位置,例如将中心固定的轮子转两圈和三圈,停止时似乎没有区别,但实质上的过程却完全不同,为了表达这种现象之间的联系和区别,我们给出了一个概念;终边相同的角.与一个角α终边相同的角可用集合表示为{β|β=α+2kπ,k∈Z},

这些角与α的始边和终边完全相同,唯一的区别是由整数k来决定的,它表示β与α相差|k|个圆周,k的正负则表明两者究竟是在正方向还是负方向上的差异.同时我们还接触到了相关的一系列概念:象限角,区间角,轴线角,……这样一来,许多人就有点糊涂了,初中学过的锐角,直角,钝角,后来的正角,负角,零角,加上这里的终边相同的角,象限角,区间角,轴线角,它们之间到底是怎样的关系,有啥区别,又有啥联系,这些都需要一一澄清,否则就真的会"难得糊涂".

(2007-04-25 15:44:02)