关于不等式的学习(2)

我们初中时学过二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a>0),研究过二次函数的图象和性质,当二次函数的值等于0即ax^2+bx+c=0时,求对应的自变量x的值的问题本质上就是解二次方程ax^2+bx+c=0的问题,那么当我们考虑二次函数的值大于0或者小于0的时候,问题就成了我们今天所要讨论的一元二次不等式问题.

   我们知道,二次方程ax^2+bx+c=0(a>0)解的情况有三类:如果判别式Δ>0,方程有两个不相等的实根;如果判别式Δ=0,方程有两个相等的实根;如果判别式Δ<0,方程无实根.结合二次函数的图象--抛物线(我们只研究开口向上的抛物线即a>0时的情形),我们知道,所谓二次方程的解其实就是抛物线与x轴的交点的横坐标,相应于前面的方程根的情况,对应的抛物线与x轴的交点分别有两个,一个,零个.而我们这里的一元二次不等式问题,就是要解决当二次函数值大于0(或小于0)时相应的自变量x的范围问题,其实质当然与二次函数的图象与x轴的交点情况有密不可分的关系.抛物线与x轴的交点把函数图象分为大于0的部分(在x轴的上方)和小于0的部分(在x轴的下方),解一元二次不等式ax^2+bx+c>0(a>0),就是求二次函数图象在x轴的上方时函数自变量x的范围,很显然当二次函数图象与x轴有两个交点也就是说二次方程ax^2+bx+c=0有两个不相等的实根x1和x2时,不等式对应的图象就是在x轴上两个交点之外的部分,即此一元二次不等式的解集为｛x|x<x1或x>x2}(这里我们不妨设x1<x2),同理,解一元二次不等式ax^2+bx+c<0(a>0),就是求二次函数图象在x轴的下方时函数自变量x的范围,在两根之间的部分,因此其解集为{x|x1<x<x2}.

   于是,我们就可以来总结一下解一元二次不等式ax^2+bx+c<0(a>0)和ax^2+bx+c<0(a>0)的一般步骤:(1)如果二次项系数为负,先利用不等式的性质将其转化为正,即变成上面研究的形式;(2)利用判别式来确定对应二次方程根的情况,并求出其根;(3)根据对应二次函数图象写出不等式的解集.

   如果一元二次不等式ax^2+bx+c>0(a>0)的左边可以转化为两个一次因式的乘积,即不等式可以写成(x-a)(x-b)>0的形式,那么解这个不等式就可以考虑将其转化为解两个一次不等式组的问题,这里利用了实数的性质.两个一次因式乘积大于0,即两个因式同号,同时为正,或同时为负.再借助于数轴来思考,左边的式子当x=a或x=b时等于0,可见,a和b相当于解含有两个绝对值的不等式中的零点,不妨设a<b,于是当x<a时,x-a与x-b同时为负,满足两个因式乘积大于0的要求;当a<x<b时,x-a>0,x-b<0,两者乘积小于0,不合要求;当x>b时,x-a与x-b同时为正,满足乘积大于0的要求,因此,这个不等式的解集就是{x|x<a或x>b}.当然,今后我们并不需要在解题过程中这么繁琐的书写,甚至在熟练之后我们可以直接写出解集.只是在开始的时候,我们不能急于求成,必须走好前面的这几步,否则会留下后患.

接下来,我们还可以用同样的思考方法来分析分式不等式(x-a)/(x-b)>0,很快我们会发现,这个不等式的解集与上面的不等式(x-a)(x-b)>0的解集相同,这样的两个不等式我们称之为同解不等式,既然是同解不等式,今后我们就完全可以将分式不等式转化为与之同解的不等式来解决,当然,转化必须是等价的,例如,分式不等式(x-1)/(x-2)≥0,转化为不等式(x-1)(x-2)≥0是不正确的,因为前者x-2≠0,而后者x-2=0,因而转化为(x-1)(x-2)≥0且x-2≠0才是等价的.这样的细节往往会导致解题的失误.

     如果遇到不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0,我们该怎样解决?同学们肯定会想到课本上处理形如(x-a)(x-b)>0的不等式的办法,根据实数的符号法则转化为一次不等式组来求解,想想看,两个一次因式的乘积转化为两个一次不等式组,那么三个一次因式的乘积又会转化为几个一次不等式组呢?从理论上讲,三个因式乘积大于0,可能情形有:三个均为正;两个为负一个为正,后者得考虑究竟哪一个为正,这就有三种情形,这样总共就有四种情形,解答起来会很繁琐.我们继续应用前面类似于零点分段讨论的办法来思考,三个一次因式共有三个"零点",将数轴分为四段,在每一段上三个因式的乘积的符号是确定的,从最右边开始,符号依次是+,-,+,-.如果画出示意图的话,应该是从最右边开始,一,三段图象在上方,二,四段图象在下方,这样,要(x-1)(x-2)(x-3)>0成立,只要选择图象在上方时对应的x的取值范围即为所求的解集{x|1<x<2或x>3}.这种方法我们称为"序轴标根法",也叫"根轴法".是根据二次不等式的解决思路推广而来的.这里还要注意一点,如果不等式的左边有偶次重因式的话,画图时要遵循的原则是"偶次重根,穿而不过",如(x-1)^2(x-2)(x-3)>0,从右向左在数轴上画示意图时,+,3,-,2,+,1,+,即在1这里要折回去,因为1是偶次重根.于是这个不等式的解集就是{x|x<1或1<x<2或x>3}.其实这一点类似于(x-1)^2>0的解集.

   如果遇到的不等式为[(x-1)(x-2)]/(x-3)>0形式,我们可以跟上面不等式(x-a)(x-b)>0一样,将其转化为(x-1)(x-2)(x-3)>0来解决,不过也要注意要是后面是大于等于时,得考虑x-3≠0,否则就不能保证等价转化.

  但是这里要特别注意:上面的每个式子中的一次因式中x的系数都是1,如果式子没有变形到这样的程度,是不能随便套用这种方法的.例如有这样一道题:1/x≤1,粗心的同学会直接把x乘到右边去,这当然是不等价的变形.为什么?因为没有考虑x的符号,所以可以根据x>0和x<0分类讨论,转化为两个不等式组来解决;我们也可以避免讨论,就是移项通分整理,但这样做之后还是有出错的可能,式子变成了(1-x)/x≤0,有人一看很高兴,这解集不就是{x|0≤x≤1}吗?但出错了!因为分子上的因式中x的系数是-1,没有达到我们要求的形式,需要变形为(x-1)/x≥0,解集就成了{x|x≤0或x≥1}.在1996年的全国高考数学(文科)题中曾经出现过这样一道题,当时的得分率并不是很高,因为这道题无论用上面的那种思路,都没有看上去那么简单,而是"处处暗藏杀机",需要考生有良好的心理素质.

  我们平时在课堂上强调各种式子的一般形式,标准形式,其实就是要大家准确掌握,灵活运用,绝对不能粗心大意,似是而非.

(2006-09-26 14:25:33)