平面几何题目分享（13）Easy But Interesting

如图，AB为圆O直径，PA，PB分别再次交圆O于D，C两点，做PH⊥AB交圆O于E，E的对径点为F，连FC，FD分别交AB于N，M。求证：OM=ON

首先注意到OM，ON的特殊位置，要正他们相等，只需△EOM≌FON，即证EM∥CF。证明这个平行倒角是个比较自然的想法。那么，该选择哪对角呢？

我们发现，图中存在一个四点共圆，即CHOD四点。这是我们熟知的“九点圆”其中四点（由直径，AC⊥PB，BD⊥AP）。这也让我们关注到了∠COD。由共圆，∠COD=∠CHD=2∠CFD，所以只需证2∠EMD=∠CHD。由垂足三角形的性质，即垂心是其垂足三角形的内心（倒角可证）PH恰为角CHD的角平分线，所以只需证∠EHD=∠EMD。而这个角等只需EHMD四点共圆。而∠EHM=∠EDM=90°，由对角互补即可证明。至此，这道题便得证了。

好家伙，上一道题码字码了2个半小时，这个半小时不到，看来以后得控制一下难度[doge]