【数学基础40】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）
预备知识：
公式：（axb）^2+（ab）^2=a^2b^2；
双重向量积：给定空间三向量，先作其中两个向量的向量积，再作所得向量与第三个向量的向量积，那么最后的结果仍然是一向量，叫做所给三向量的双重向量积。例如（axb）xc就是三向量a，b，c的一个双重向量积；
性质：（axb）xc是和a，b共面且垂直于c的向量。
矩阵乘法运算律——
a.结合律：（AB）C=A（BC）
b.左分配律：A（B+C）=AB+AC
c.右分配律：（B+C）D=BD+CD
d.若A是n级矩阵，单位矩阵为E，则有：AE=EA=A
e.矩阵乘法与数量乘法满足：k（AB）=（kA）B=A（kB）
f.可逆方阵：设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=E，则称B为A的逆方阵，而称A为可逆方阵。
矩阵A可逆的充要条件：|A|不为0——|A|为矩阵A对应的行列式。
矩阵对应行列式满足：|AB|=|A||B|；
设A与B都是数域K上的n级矩阵，如果AB=E，那么A与B都是可逆矩阵，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。
A的伴随矩阵A*满足：A*=|A|A^（-1）
E（i，j）为单位矩阵i，j行对调——
方阵A可逆，A对调i，j行成B矩阵：B=E（i，j）A
方阵A可逆，A对调i，j列成B矩阵：B=AE（i，j）
矩阵的转置：把n级矩阵A的行与列互换得到的矩阵称为A的转置，记作A'，|A'|=|A|。
定义：设A为方阵，若A'=A，则称A为对称矩阵，若A'=-A，则称A为反对称矩阵。
定义：如果AB=BA，则称A与B可交换。
矩阵转置运算律——
（A+B）'=A'+B'
（kA）'=kA'
（AB）'=B'A'
参考资料：
《数学分析习题演练》（周民强 编著）
《解析几何》（吕林根 许子道 编）
《高等代数——大学高等代数课程创新教材》（丘维声 著）
数学分析——
例题（来自《数学分析习题演练（周民强 编著）》）——
试证下列命题：若数列{an}中三个子列{a2n}，{a2n-1}，{a3n}皆收敛，则{an}是收敛列。
证：
设lim a2n=a，lim a2n-1=b，lim a3n=c，则lim a6n=a，lim a6n=c，可知a=c；
同理，b=lim a2（3k-1）-1=lim a3（2k-1）=c，可知b=c；
lim a2n=lim a2n-1=c，证毕。
解析几何——
例题（来自《解析几何（吕林根 许子道 编）》）——
证明：（axb）xc=（ac）b-（bc）a
证：
情形一：三个向量有一个为零向量，或a与b共线，或c与a、b都垂直——
左边=右边=0，等式成立。
情形二：三个向量均不零向量，a与b不共线，或c与a或b不垂直，c=a
（axb）xa与a，b共面，而a与b不共线，从而可设（axb）xa=λa+μb；
[（axb）xa]a
=（（axb），a，a）
=0
=（λa+μb）a
=λa^2+μab，
[（axb）xa]b
=（（axb），a，b）
=（a，b，（axb））
=（axb）^2
=a^2b^2-（ab）^2
=（λa+μb）b
=λab+μb^2；
λa^2b^2+μ（ab）（b^2）=0，
λ（ab）^2+μ（ab）（b^2）=（ab）[a^2b^2-（ab）^2]，
λ[（ab）^2-a^2b^2]=（ab）[a^2b^2-（ab）^2]，λ[=-（ab），μ=a^2；
（axb）xa
=λa+μb
=-（ab）a+a^2b
=（aa）b-（ba）a，成立。
情形二：三个向量均不零向量，a与b不共线，或c与a或b不垂直，任意向量c
设c=λa+μb+γ（axb），
（axb）xc
=（axb）x[λa+μb+γ（axb）]
=λ[（axb）xa]+μ[（axb）xb]+γ[（axb）x（axb）]
=λ[（axb）xa]-μ[（bxa）xb]
=λ[（aa）b-（ba）a]-μ[（bb）a-（ab）b]
=[λ（aa）+μ（ab）]b+γ（axb）ab-[μ[（bb）+λ（ba）]a-γ（axb）ab
=[a（λa+μb+γ（axb））]b-[b（μb+λa+γ（axb））]a
=（ac）b-（bc）a，成立。
高等代数——
例题（来自《高等代数——大学高等代数课程创新教材（丘维声 著）》）——
证明：如果A可逆，那么A'也可逆，并且（A'）^（-1）=（A^（-1））'.
证：E=A'（（A^（-1））'）=（A^（-1））A）'=E'=E，则A'也可逆，
（A'）^（-1）=（A^（-1））'.
到这里！
