相关点法的补充及应用
此条专栏是对上一条专栏内容的补充，主要是相关点法的一些应用
ps:此专栏部分内容会将初中、高中、大学的知识结合一起论述，网友们可视自身情况选读
此次主要是以瓜豆原理为例展开论述
所谓瓜豆原理其字面意思就是“种瓜得瓜种豆得豆”，其体现在如下的一个模型中
如图，A为定点，BC为动点，且满足：
1、AB与AC长度之比为定值
2、AB与AC夹角为定角θ,θ∈[0,180°]
则B点运动轨迹与C点运动轨迹形状相同（即全等或相似）
下面用变换的观点来分析
由点B变换至点C，可先按比例关于A点位似，使得
再将绕A旋转θ角度
（或者先旋转再位似，原理是相同的）
若B在一曲线上运动，则对曲线上的所有点作这一变换可得C点的运动轨迹
其中位似相当于绕着一点（即位似中心）“放大或缩小”，因此不会改变图形的形状；旋转前后图形大小和形状不变。综上，变换前后形状不变（全等或相似，相似比等于位似变换中的位似比）
以上我们从变换的性质入手简单说明了“瓜豆原理”，下面拿一题来实践
如图，点P(3,4),圆P半径为2,A(2.8,0),B(5.6,0),点M是圆P上的动点,点C是MB的中点,则AC的最小值为_____
C为MB中点，可视为M关于B点作位似变换，位似比为，由于M在圆P上，故对圆P作该位似变换即得点C的运动轨迹
根据瓜豆原理，那么C点的运动轨迹也是圆，可由圆P图像关于点B“缩小”得到
记轨迹圆心为，则
，根据比例计算得：
则点C在以为圆心，1为半径的圆上运动
此时就是“圆外一点到圆周上的点最值”的问题，距离
拓展到高中，则可让求C点的运动轨迹方程，此时即用相关点法求之
M点轨迹方程：
设
∵C为MB中点
∴解得：
∵M在圆上
∴
∴
整理得：
∴C点轨迹方程为：
上述是用代数意义求解，下面用几何意义加深对相关点法的理解
“取MB中点为C”即点M关于点B作位似变换，其中位似比为
对圆作该位似变换即可得到圆
那么圆上的点满足约束条件：关于点B作位似比为
的位似变换(即上述变换的逆变换)后落在圆
上
设,则
将模长伸长2倍后得:
∵
∴
∵M在圆上
∴
即
对于一曲线作一变换，则用相关点法求变换后曲线方程。其中几何意义万变不离其宗，总体现着逆向思维，即变换后曲线上的点满足约束条件：作逆变换后点落在原来变换前的曲线上！
细品这句话，因为这是相关点法的本质和精妙之处。
下面再来看一道题
ps:此题选自一道中考真题,方法很多，下面主要用“瓜豆模型”来解题
，满足所讲的“瓜豆模型”
故C点的运动轨迹也是一条直线，结合已知需求出该直线方程代入纵坐标3即可解得横坐标m
该直线可由y=0(x轴所在直线)绕点A(0,2)逆时针旋转60°得到
由于用变换的知识求该直线在初中较难理解，所以下面先用初中的方法解此题：上文定性分析这是一条直线后，只需找两个特殊点即可求得直线方程
由60°且两边相等容易想到等边三角形，于是找到如下两个特殊点：
此时BC//y轴，
此时AC//x轴，
设直线方程为y=kx+b
将上面求得的两个C点代入得：
解得：
∴C点所在直线方程为：
将(m,3)代入解得：
故选C
以上是初中方法，下面用变换的方法（相关点法）求直线方程
由B到C所作变换为：绕点A(0,2)逆时针旋转60°
而B在x轴(y=0)上，故将直线y=0绕(0,2)逆时针旋转60°可得C点所在轨迹
那么C点轨迹上的点满足约束条件：绕点A(0,2)顺时针旋转60°(作逆变换)后落在直线y=0上
其中变换"绕点(0,2)顺时针旋转60°"可分解为平移变换和线性变换：先向下平移2个单位(使旋转中心平移至原点)，再绕原点顺时针旋转，最后向上平移2个单位
设C(x,y)
1、向下平移2个单位得：(x,y-2)
与原点连接并以原点为起点构成向量：
2、绕原点顺时针旋转60°得：
得：点
∵该点在直线y=0上
∴
即直线
使用相关点法求解作变换后的曲线方程问题时，我们总能体会到万变不离其宗的逆向思维：
变换后的曲线方程上的点满足约束条件：作逆变换后，点落在变换前的原曲线上
这句话一定要细品，因为这是相关点法的本质和精髓之处
最后，在此将相关的知识进行融会贯通，我们便会发掘出数学中无穷无尽的奥妙！
在前文提到，瓜豆模型中有如下特征：A定BC动，AB与AC长度之比恒定，且两边夹角恒定
两动点轨迹形状相同（全等或相似）
分析过程中也得到如下论述：
其中一动点B可通过"先位似变换再旋转变换"or"先旋转变换再位似变换"得到另一动点C
将其放入直角坐标系中，若位似中心A为原点，则此变换为一线性变换
这个线性变换由一位似变换和一旋转变换复合而成
例：若，由B到C旋转方向为逆时针
则该变换可用矩阵描述为：
用以基底为单位的“方格子”图将该变换可视化如下：
此变换便可通俗地理解为“图片的缩放和旋转”
