【数学基础25】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）

预备知识：

1. 数列lim n^（1/n）=1，lim a^（1/n）=1，a>0；

2. 收敛数列{an}极限为a，则an=a+ɑn，其中{ɑn}为一个无穷小；

3. 收敛数列必有界；

4. 有限个无穷小的和还是无穷小；

5. 有界数列乘以无穷小的积还是无穷小；

6. 设lim an=a，则lim（a1+a2+……+an）/n=a；

7. 设lim an=a，lim（a1+2a2+……+nan）/（1+2+……+n）=a；

8. 设lim（a1+a2+……+an）=A，lim（a1+2a2+……+nan）/n=0；

9. 设lim（a1+a2+……+an）=A，lim（n！a1*a2*……*an）^（1/n）=0.

10. 定比分点：在线段P1P2上求一点P，使得由P分成的两个有向线段P1P与PP2的量的比为定数λ（λ不为-1），即P1P/PP2=λ，则P为线段P1P2以λ为定比的分点，且OP=（OP1+λOP2）/（1+λ）——定比分点公式。
    

11. 矩阵乘法运算律——

    a.结合律：（AB）C=A（BC）

    b.左分配律：A（B+C）=AB+AC

    c.右分配律：（B+C）D=BD+CD

    d.若A是n级矩阵，单位矩阵为E，则有：AE=EA=A

    e.矩阵乘法与数量乘法满足：k（AB）=（kA）B=A（kB）

    f.可逆方阵：设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=E，则称B为A的逆方阵，而称A为可逆方阵。

12. 矩阵A可逆的充要条件：|A|不为0——|A|为矩阵A对应的行列式。

13. 矩阵对应行列式满足：|AB|=|A||B|；

14. 设A与B都是数域K上的n级矩阵，如果AB=E，那么A与B都是可逆矩阵，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。

15. A的伴随矩阵A*满足：A*=|A|A^（-1）

16. E（i，j）为单位矩阵i，j行对调——
    

    方阵A可逆，A对调i，j行成B矩阵：B=E（i，j）A

    方阵A可逆，A对调i，j列成B矩阵：B=AE（i，j）

17. 矩阵的转置：把n级矩阵A的行与列互换得到的矩阵称为A的转置，记作A'；

18. 定义：设A为方阵，若A'=A，则称A为对称矩阵，若A'=-A，则称A为反对称矩阵。

19. 矩阵转置运算律——

    （A+B）'=A'+B'

    （kA）'=kA'

    （AB）'=B'A'

参考资料：

1. 《数学分析习题演练》（周民强 编著）

2. 《空间解析几何》（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）

3. 《高等代数习题集》（杨子胥 编）

数学分析——

例题（来自《数学分析习题演练（周民强 编著）》）——

设有正数列{an}.若lim an+1/an=a，则lim（an）^（1/n）=a.

证：设数列bn= an/an-1，b1=a1/1，lim bn=a，

则lim（b1+b2+……+bn）/n=a，an=（ an/an-1）（ an-1/an-2）……（a1/1）=bn*bn-1*……*b1——

a.若a=0，

1. 0<=（an）^（1/n）=（bn*bn-1*……*b1）^（1/n）<=（bn+bn-1+……+b1）/n；

2. lim（bn+bn-1+……+b1）/n=a=0，则lim（an）^（1/n）=a=0.

b.若a>0，

1. a=1/（1/a）

   =lim 1/（1/bn）=lim 1/{[（1/bn）+（1/bn-1）+……+（1/b1）]/n}

   <=lim （bn*bn-1*……*b1）^（1/n）

   <=lim（bn+bn-1+……+b1）/n=a，证毕。

解析几何——

例题（来自《空间解析几何（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）》）——

三角形各边依次以同比分之，则三个分点所成的三角形必与原三角形有相同的重心：

即已知三角形ABC三边AB，BC，CA上个一点L，M，N，有AL/LB=BM/MC=CN/NA，且三角形ABC的重心为G，三角形LMN的重心为W，试证G与W重合。

证：由三角形重心公式易知G=（A+B+C）/3，W=（L+M+N）/3，现证明（A+B+C）=（L+M+N）——

1. 记AL/LB=BM/MC=CN/NA=k，由定比分点公式：L=（A+kB）/（1+k），M=（B+kC）/（1+k），N=（C+kA）/（1+k）；

2. L+M+N=（A+kB）/（1+k）+（B+kC）/（1+k）+（C+kA）/（1+k）=A+B+C，证毕。

先到这里！