【数学基础85】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）

预备知识：

1. 定理：单调有界数列必收敛；

2. 数列极限lim q^n=0，这里|q|<1；
   

3. 柯西列：数列{an}为柯西列，即对任意小数ε>0，存在正整数N，对任意m，n>N，|am-an|<ε；

4. 柯西准则：数列{an}收敛的充要条件是数列{an}是柯西列；

5. 设lim an=a，若a>0，an>0，则lim an^（1/n）=1；

6. lim（1+1/n）^n=e；

7. 定理：数列{an}收敛的充要条件是：{an}的任何子列都收敛。

8. 公式：（axb）^2+（ab）^2=a^2b^2；

9. 双重向量积：给定空间三向量，先作其中两个向量的向量积，再作所得向量与第三个向量的向量积，那么最后的结果仍然是一向量，叫做所给三向量的双重向量积。例如（axb）xc就是三向量a，b，c的一个双重向量积；

10. 性质：（axb）xc是和a，b共面且垂直于c的向量；

11. （axb）xc=（ac）b-（bc）a；

12. 拉格朗日恒等式：（axb）（a'xb'）=（aa'）（bb'）-（ab'）（ba'）；

13. （axb）x（a'xb'）=（a，b，b'）a'-（a，b，a'）b'=（a，a'，b'）b-（b，a'，b'）a；

14. （axb，cxd，exf）=（a，b，d）（c，e，f）-（a，b，c）（d，e，f）；

15. 右手系/左手系：设有不共面的三个向量a，b，c，将它们移到同一始点，则a，b决定一个平面，而c指向平面的一旁，将右手四指并拢与拇指分开，使四指向掌心弯曲的方向，表示从a的方向经过小于平角的转动达到b的方向，此时若拇指方向与c方向指向平面的同一旁，则称向量组{a，b，c}构成右手系，否则称为左手系；

16. 直角标架/直角坐标系：设i，j，k是空间中以O为起点的三个向量，它们两两垂直并且都是单位向量，则O；i，j，k称为空间的一个以O为原点的直角标架或直角坐标系，记为{O；i，j，k}；

    右手直角标架/右手直角坐标系：如果向量i，j，k成右手系，那么{O；i，j，k}称为一个右手架标或右手直角坐标系；否则称为左手直角架标或左手直角坐标系；

    直角坐标系的基向量：我们把i，j，k称为该直角坐标系的基向量；

17. 仿射架标/仿射坐标系：如果我们不要求i，j，k单位长度且两两正交，只要求它们不共面，那么{O；i，j，k}称为空间一个以O为原点的仿射架标或仿射坐标系；

    右手仿射架标/右手仿射坐标系：如果向量i，j，k成右手系，那么{O；i，j，k}称为一个右手仿射架标或右手仿射坐标系；否则称为左手仿射架标或左手直仿射坐标系；

    仿射坐标系的基向量：我们把i，j，k称为该仿射坐标系的基向量；

18. 坐标：O；i，j，k是空间的一个仿射坐标系（直角坐标系），则任意一个向量v可以唯一表示成v=xi+yj+zk，称（x，y，z）为向量v在该坐标系{O；i，j，k}下的坐标，记为v=（x，y，z）；

    点的坐标：设{O；i，j，k}是空间的一个以O为原点的仿射坐标系（直角坐标系），规定P点的坐标为向量OP的坐标，向量OP成为P点的定位向量或矢径，若P点的坐标为{x，y，z}，记为P（x，y，z）；

19. 坐标轴/坐标平面/卦限：i，j，k所在的直线通常成为坐标轴或分别成为x，y，z轴，每两根坐标轴所决定的平面称为坐标平面或xOy，yOz，zOx坐标平面，3个坐标平面把空间分割成8个部分，称为该坐标系的8个卦限；

20. 已知a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3）：

    ab=a1b1+a2b2+a3b3；

    |a|=（a1^2+a2^2+a3^2）^（1/2）；

    axb=（a2b3-a3b2）i+（a3b1-a1b3）j+（a1b2-a2b1）k.
    

21. 矩阵乘法运算律——
    

    a.结合律：（AB）C=A（BC）

    b.左分配律：A（B+C）=AB+AC

    c.右分配律：（B+C）D=BD+CD

    d.若A是n级矩阵，单位矩阵为E，则有：AE=EA=A

    e.矩阵乘法与数量乘法满足：k（AB）=（kA）B=A（kB）

    f.可逆方阵：设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=E，则称B为A的逆方阵，而称A为可逆方阵。

22. 矩阵A可逆的充要条件：|A|不为0——|A|为矩阵A对应的行列式。

23. 矩阵对应行列式满足：|AB|=|A||B|；

24. 设A与B都是数域K上的n级矩阵，如果AB=E，那么A与B都是可逆矩阵，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。

25. A的伴随矩阵A*满足：A*=|A|A^（-1）

26. E（i，j）为单位矩阵i，j行对调——
    

    方阵A可逆，A对调i，j行成B矩阵：B=E（i，j）A

    方阵A可逆，A对调i，j列成B矩阵：B=AE（i，j）

27. 矩阵的转置：把n级矩阵A的行与列互换得到的矩阵称为A的转置，记作A'，|A'|=|A|。

28. 定义：设A为方阵，若A'=A，则称A为对称矩阵，若A'=-A，则称A为反/斜对称矩阵。

29. 定义：如果AB=BA，则称A与B可交换。

30. 矩阵转置运算律——

    （A+B）'=A'+B'

    （kA）'=kA'

    （AB）'=B'A'

31. 定理：如果A可逆，那么A'也可逆，并且（A'）^（-1）=（A^（-1））'；

32. 克莱姆法则：设A是n*n矩阵，线性方程组Ax=B——

    若|A|≠0，则方程组有唯一解：xi=Δi/Δ，其中Δ=|A|，Δi为|A|中第i列换为B，其它各列与|A|相同的n阶行列式（i=1，2，……，n）；

33. 对n维方阵A，若其行（列）向量线性相关，则|A|=0，若其行向量线性无关，则|A|不为0.

参考资料：

1. 《数学分析》（华东师范大学数学系 编）

2. 《空间解析几何》（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）

3. 《高等代数题解精粹》（钱吉林 编著）

数学分析——

例题（来自《数学分析（华东师范大学数学系 编）》）——

设a>0，θ>0，a1=（a+θ/a）/2，an+1=（an+θ/an）/2，n=1，2，…….证明：数列{an}收敛，且其极限为θ^（1/2）.

证：

1. 由均值不等式：

   a1=（a+θ/a）/2>=[a*（θ/a）]^（1/2）=θ^（1/2），

   an+1=（an+θ/an）/2>=[an*（θ/an）]^（1/2）=θ^（1/2），

   由归纳法可知，对于任意n，an>=θ^（1/2）>0，有下界；

2. 作差：

   an+1-an

   =（an+θ/an）/2-an

   =（θ/an-an）/2

   =（1/2an）（θ-an^2），

   1/2an>0，θ-an^2<0，则an+1-an<0，即an+1<an，数列单调递减；

3. 由单调有界原理知：数列{an}收敛，即存在实数a，lim an=a，

   则lim an+1=lim（an+θ/an）/2，即a=（a+θ/a）/2，且a>0，解得a=θ^（1/2），

   综上，数列{an}收敛，且其极限为θ^（1/2）.

解析几何——

例题（来自《空间解析几何（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）》）——

已知a=（1，0，-1），b=（1，-2，0），c=（-1，2，1），求ax（bxc）.

解：

1. a=（1，0，-1），即a=i-k，
   

   b=（1，-2，0），即b=i-2j，

   c=（-1，2，1），即c=-i+2j+k；

2. ax（bxc）

   =（ac）b-（ab）c

   =[1*（-1）+0*2+（-1）*1]（i-2j）-[1*1+0*（-2）+（-1）*0]（-i+2j+k）

   =（-2i+4j）-（-i+2j+k）

   =-i+2j-k

   =（-1，2，-1）.

高等代数——

例题（来自《高等代数题解精粹（钱吉林 编著）》）——

实矩阵A如下——

证明：在A≠0时，求出A^（-1）.

证：

1. 在A≠0时，即a或b至少有一个不为0，则|A|=a^2+b^2≠0，则A可逆；

2. A^（-1）=A*/|A|，

A*为

A^（-1）为

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