吴军数学通识-学习笔记（3）数学边界、黄金分割

05｜数学边界：从毕达哥拉斯定理到费马大定理 - 得到APP (dedao.cn)

我们有必要了解数学本身的局限性，才能更好地使用它的原理和思维方式。

费马大定理

：

从毕达哥拉斯定理说起，a^2+b^2=c^2的整数解有很多个，叫做勾股数。人们就在想，a^3+b^3=c^3，有整数解吗？

这个问题困扰了人类几千年。后来有一个叫费马的数学爱好者就提出一个假说，说除了平方的情况，其他更高次方的方程都找不到整数解，它被称为费马大定理。

在费马之后的几百年里，很多数学家都试图证明它，但是都不得要领。费马自己说他已经证明了这个定理，只是那张纸不够大写不下，但后人认为是费马搞错了。

于是费马大定理就成了一道跨越了三个多世纪的超级难题。直到1994年，才由著名的英国旅美数学家怀尔斯证明出来，而这个过程也是一波三折。

这个定理证明过程本身导致了很多数学研究成果的出现，特别是对于椭圆方程的研究。今天区块链技术用到的椭圆加密方法，就是以它为基础的。

体会：今天的数学（指纯粹数学，不是应用数学）真的很难，想在这方面取得突破性贡献不容易，怀尔斯从10岁开始就立志解决这个问题，他努力了30年。他最后的证明长达200页。但是，有了理论，使用它做有意义的事情，还是容易得多。比特币就是一个很好的例子。

希尔伯特第十问题

（丢番图方程的可解性）：任意一个多项式方程2x^2 + 3 y^3 = z^4，或者 x^2 + 3 y^3 - w^5 = z^4，请问它们有没有整数解？

对于一些特例，我们知道有整数解，比如x^2 + y^2 = z^2就有；对于另一些特例，我们知道没有整数解，比如费马大定理所描述的情况

但是，对于更多的，一般性的不确定方程，我们不仅不知道怎么解，甚至无法判断一个方程有没有整数解。

第十问题其实隐含了一个更为深刻的认识论问题，就是对于大部分数学问题，到目前为止，

我们所能解决的数学问题其实只是所有数学问题中很小的一部分

。

当然，很多人会说尚未找到答案不等于没有答案。第十问题实际上在直接挑战数学的边界，也就是说，通过数学的方法，我们可能根本无法判断一些问题的答案存在与否。如果连答案是否存在都不知道，就更不用说通过数学的方法解决它们了。

1970年，俄罗斯天才的数学家尤里·马季亚谢维奇在大学毕业后一年就解决了这个问题，证明了

这类问题是无解的

，从此在世界上一举成名。

第十问题的解决其实扑灭了人类的一丝希望，但是也让人类老老实实地在边界内做事情。人类过去常常希望找到一个工程问题的

解析解

，即答案是以一个公式的形式存在，这样套入任何数字，就得到了具体的答案。

但是，很多问题最后证明找不到严格推导出来的解析解，

当然这也不妨碍大家在工程上可以使用近似的数值解

，解决实际问题。认清这一点，做事的方法也就改变了。

06｜黄金分割：毕达哥拉斯如何连接数学和美学？ - 得到APP (dedao.cn)

毕达哥拉斯用数学指导艺术和音乐，也确立了数学在其它知识体系和人类文明成就中的中心地位。数学的用途不仅仅是在思维方面，也能实实在在指导我们的工作。

数学与艺术-

黄金分割

：今天一般认为，算出黄金分割公式的还是毕达哥拉斯。大家更认可的说法是，毕达哥拉斯学派的人在做正五边形和五角星的图形时，发现了黄金分割的比例。

是什么：1:0.618

为什么美？简单地讲，它的美感来自几何图形的相似性。（自相似性）

案例：帕特农神庙、断臂的维纳斯、埃菲尔铁塔、蒙娜丽莎、蜗牛壳、龙卷风、银河系

数学与音乐-

音阶理论

：毕达哥拉斯认为，要产生让人愉快的音乐，就不能随机在连续的音调中选择音阶，而需要根据数学上的比例设计

比如：两根琴弦长度比是2:1，他们的声音是和谐的，定义为8度音，接下来，将这8度又一分为二，按照4:3和3:2的比例，分出一个4度音和一个5度音，听感也是和谐的。

为什么好听？今天对耳蜗的解刨学研究发现，耳蜗的形状其实也是螺旋线的，和黄金分割的螺旋线非常吻合。这可能是按照黄金分割设定音律后，声音悦耳的原因。

数学与艺术-

透视理论

：西方艺术从文艺复兴开始逼真的效果源于艺术家们使用单点透视的方法，成功地将三维形象绘制到一个二维平面上。

布鲁内莱斯基所发明的单点透视法，完全符合我们视觉应有的几何学原理，具体讲就是相似三角形的原理，因此按照这样的方法画出来的画就非常逼真。

理解了我们视觉的数学原理，就可以利用它创造出不同的艺术效果。比如在现实世界里，我们看到的是单点透视，因为人的眼睛不可能同时往两边看，但是我们可以在艺术创作中采用两点和多点透视。

该笔记已整合入个人知识体系，详见 [笔记3](http://wangc.site/cbrain/share?nodeid=b810579bac8a8069)