吴军数学通识-学习笔记（1）勾股定理与数学的预见性

02｜勾股定理：为什么在西方叫毕达哥拉斯定理？ - 得到APP (dedao.cn)

数学和自然科学不同，它不相信测量，不是建立在实证基础之上，而是建立在逻辑基础之上的，这样整个数学大厦的基础才得以稳固。

毕达哥拉斯定理

中国

：据汉朝的数学书《周髀算经》的记载，早在公元前1000年的时候，周公和商高这两个人就谈到了“勾三股四弦五”，于是称之为勾股定理或者商高定理。

如果再往前推，

美索不达米亚人

早在公元前18世纪左右就知道很多组的勾股数（包括勾三股四弦五），而且留下了实物证据。

古埃及人

在建造大金字塔时就已经按照勾股数在设计墓室的尺寸了。

但是以上古代文明不过是举出了一些

特例

而已，甚至没有提出

假说

，只有

古希腊人

完成了数学

证明

。

数学和自然科学的三个本质差别

测量和逻辑推理的区别

：无论中国还是古埃及人都只是在进行测量，没有总结出一般性的规律，而测量与观察出的经验结果是可能有误差的，但推理不会。

数学上的结论只能从定义和公理出发，使用逻辑严格证明得到，不能通过经验总结出来

。

用事实证实和用逻辑证明的区别

：在自然科学中，一个假说通过实验证实，就变成了定律，但是，在数学上，用实验来验证一个假说（猜想）是不被允许的，

数学理论必须要证明，保证没有例外

 。比如波义耳和马略特的压强定理，人们真的发现当压强特别大时，这个定律就不管用了。但是没有关系，在大多数条件下，这个定理依然成立。

科学结论相对性和数学结论绝对性的区别

：因为数学上的每一个定理都是一块基石，后人需要在此基础上往前走，试图建立一块新的基石，然后数学的大厦就一点点建成了。在这个过程中不能有丝毫的缺陷，一旦有，整个数学大厦就轰然倒塌了。

数学定理确立的过程

大致是这样的，一开始可能只是大家注意到几个特例，然后发现很多例证提出猜想，猜想经过证明就成为了定理，定理会有推论，在此基础上，会有新的定理和应用。

03｜数学的预见性：如何用推理走出认知盲区？ - 得到APP (dedao.cn)

世界上有很多我们不能依靠直觉和生活经验理解的事物，但是我们可以从数学出发，经过一步步推导得到正确的结论。

从毕达哥拉斯定理到无理数的发现

毕达哥拉斯坚信世界的本源是数字，而数字必须是完美的。整数很完美，而且分数的分子分母也都是整数（有理数）

但毕达哥拉斯定理被证明之后，就发现了问题。假设某一个直角三角形的两条直角边长都是1，那么斜边是无法用

有理数

（A/B）表示。

无理数

的危机也带来了数学思想一次大的飞跃，它告诉人们，人类在对数字的认识上还具有局限性，需要有新的思想和理论来解释。

据说毕达哥拉斯的学生希帕索斯最初发现了上述矛盾，于是就去和他的老师讲了。而毕达哥拉斯是个把数学看成宗教的人，出现无限的不循环小数在毕达哥拉斯看来是数学的漏洞，但他又无法把这件事解释圆满，于是毕达哥拉斯决定把这位学生扔到海里杀死，好把这件事隐瞒下来。

数学的预见性

：人类在科技历史上，很多重大的发明发现恰恰来自于上述的矛盾。

首先，在遇到数学和现实的矛盾时，我们需要仔细检查推理的过程是否有疏漏，这种情况占大多数。在排除了推导的错误后，接下来，两种情况必居其一：

要么，我们的眼睛和

我们的认知欺骗了我们

，就如同我们以为所有的数都是有理数，但其实不是。这是常有的事。

要么，

最初的假设错了或者说不够好

。这种事情在历史上偶尔发生过，但是很少，我们后面在介绍非欧几何时会仔细讲到这种情况。这种情况我们通常不需要考虑。

天体物理学家亚当·里斯（Adam Riess）等人通过计算，发现宇宙的质量是负数，这怎么可能？难道是数学错了，还是我们对宇宙的理解完全错了？里斯在做了仔细的检查后首先排除了推理有误的可能性，然后他们不得不承认数学的结论是对的，出错的是我们眼睛（包括观测的仪器）。于是，他们认定宇宙中一定存在我们看不见，更不了解的东西，那些就是所谓的

暗能量

，亚当·里斯等人后来因此获得了诺贝尔奖。

当然，可能有读者朋友会想，那些预见性可能和我们相去甚远，其实不然，后面我们会举一些和大家相关的例子，比如如何识破

庞氏骗局

，为什么不能

做空股票

，等等。

该笔记已整合入个人知识体系，详见 [笔记1](http://wangc.site/cbrain/share?nodeid=b6149f8e3125090b)