争地讨论 §2.1 追击无限开荒
§2 追击开荒
条件：A和B是国家，C是荒地
争地：A→B→C╞ t∈FW
§2.1 追击无限开荒
条件：c=+∞
推导：
I. pA'(t)=kA*pA(t)
Ⅱ. pB'(t)=kB*pB(t)—kA*pA(t)
lll. pC(t)≡+∞
I. pA(t)=a*e^(kA*t)
Ⅱ. pB'(t)=kB*pB(t)
—kA*a*e^(kA*t)
当kA≠kB时，设pB(t)=
X*e^(kA*t)+Y*e^(kB*t)，则有
pB'(t)=kB*X*e^(kB*t)+
kA*Y*e^(kA*t)=kB[X*e^(kB*t)
+Y*e^(kA*t)]—kA*a*e^(kA*t)
=kB*Y*e^(kB*t)+
(kB*X—kA*a)e^(kA*t)，故有
kA*X=kB*X—kA*a
(kB—kA)X=kA*a
X=a*kA/(kB—kA)，又因为
pB(0)=X+Y=b，联立解得
Y=b—X=b+a*kA/(kA—kB)，故
pB(t)=
[a*kA/(kB—kA)]e^(kA*t)
+[b+a*kA/(kA—kB)]e^(kB*t)；
当k=kA=kB时，pA'(0)=ka
pB'(0)=k(b—a)，故
[pB(0)/pA(0)]'
=[a*pB'(0)—b*pA'(0)]/a^2
=k[a(b—a)—ab]/a^2
=k[ab—a^2—ab]/a^2
—k*a^2/a^2=—k
，与a和b无关，则扩展得
[pB(t)/pA(t)]'≡—k
pB(t)/pA(t)=b/a—kt
pB(t)=(b/a—kt)pA(t)
=(b/a—kt)a*e^kt
=(b—akt)e^kt；
Ⅱ.(1)kA≠kB
X=a*kA/(kB—kA)<0⇔
kA>kB⇔kB/kA∈(0,1)，
Y=b+a*kA/(kA—kB)<0
a*kA/(kB—kA)>b
kA/(kB—kA)>b/a
(kB—kA)/kA=kB/kA—1<a/b⇔
[(kB—kA>0⇔kB>kA⇔
kB/kA>1)∧kB/kA<1+a/b]
⇔kB/kA∈(1,1+a/b)
Ⅱ.(2)k=kA=kB
pB'(t)=k[pB(t)—pA(t)]，设
pB'(r)=0，则p=pA(r)=pB(r)，
则有a*e^kr=(b—akr)e^kr
a=b—akr
akr=b—a
r=(b—a)/ak，故
p=a*e^(b/a—1)=max[pB(t)]，
t <r =r >r
pB'(t) + 0 —
pB(t) ↗ p ↘ ⇒ B断绝
若B断绝，则设T=LDB，故有
①kB/kA∈(0,1)
X<0,Y>0,kA>kB⇒
X*e^(kA*t)+Y*e^(kB*t)
=pB(t)↘⇒B断绝⇒
X*e^(kA*T)+Y*e^(kB*T)=0
X+Y*e^(kB—kA)T=0
Y*e^(kB—kA)T=—X
e^(kB—kA)T=—X/Y
(kB—kA)T=log(—X/Y)
T=[log(—X/Y)]/(kB—kA)
={log[a*kA/(kA—kB)]/[b+a*kA/(kA—kB)]}/(kB—kA)
=log{1+[b(kA—kB)/(a*kA)]}
/(kA—kB)⇒pA(T)=a*e^(kA*T)
=a*e^[kA/(kA—kB)]log{1+[b(kA—kB)/(a*kA)]}
=a*{1+[b(kA—kB)/(a*kA)]}^[kA/(kA—kB)]
={a+[b(kA—kB)/kA]}
^[kA/(kA—kB)]
=(a+b—kB/kA)^[kA/(kA—kB)]
②kB/kA=1⇔k=kA=kB⇔
pB(T)=(b—akT)e^kT=0⇔
b—akT=0⇔akT=b⇔T=b/ak
③kB/kA∈(1,1+a/b)
X>0,Y<0,kA<kB⇒∃s，s.t.
pB'(s)=kB*X*e^(kB*s)+
kA*Y*e^(kA*s)=0
kB*X*e^(kB—kA)s+kA*Y=0
kB*X*e^(kB—kA)s=—kA*Y
e^(kB—kA)s=—kA*Y/(kB*X)
(kB—kA)s=log[—kA*Y/(kB*X)]
s={log[—kA*Y/(kB*X)]}
/(kB—kA)=log{—kA[b+a*kA/(kA—kB)]/[kB*a*kA/(kB—kA)]
}/(kB—kA)
={log[(b/a+kA)/kB]}/(kB—kA)
t <s =s >s
pB'(t) + 0 —
pB(t) ↗ max ↘ ⇒B断绝⇔
T=log{1+[b(kA—kB)/(a*kA)]}
/(kA—kB)
④kB/kA≥1+a/b
X>0,Y≥0⇒pB(t)↗⇒B存续
kB/kA∈(0,1)∪(1,1+a/b)，
t→—∞ ⇒pB(t)/pA(t)
=[X*e^(kA*t)+Y*e^(kB*t)]/[a*e^(kA*t)]
=X/a+Y*e^(kB—kA)t
→X/a=kA/(kB—kA)<0
⇒无原始平衡
kA=kB，t→—∞ ⇒pB(t)/pA(t)
=b/a—kt→+∞ ⇒无原始平衡
kB/kA≥1+a/b，t→+∞
⇒pB(t)/pA(t)=
X/a+Y*e^(kB—kA)t→+∞
解式：
①kB/kA∈(0,1)∪(1,1+a/b)
①(1)t<log{1+[b(kA—kB)/(a*kA)]}/(kA—kB)
pA(t)=a*e^(kA*t)，pB(t)=
[a*kA/(kB—kA)]e^(kA*t)
+[b+a*kA/(kA—kB)]e^(kB*t)，
pC(t)≡+∞；
①(2)t≥log{1+[b(kA—kB)/(a*kA)]}/(kA—kB)∨t→+∞
pA(t)≡(a+b—kB/kA)^[kA/(kA—kB)],pB(t)≡0,pC(t)≡+∞；
②kA=kB
②(1)t<(b—a)/ak
pA(t)=a*e^(kA*t)，pB(t)=
(b—akt)e^kt，pC(t)≡+∞；
②(2)t≥(b—a)/ak∨t→+∞
pA(t)≡a*e^(b/a—1)，
pB(t)≡0，pC(t)≡+∞；
③kB/kA≥1+a/b
③(1)t→—∞
pA(t)→0,pB(t)→0,pC(t)→+∞,pB(t)/pA(t)→kA/(kB—kA)；
③(2)t∈R
pA(t)=a*e^(kA*t)，pB(t)=
[a*kA/(kB—kA)]e^(kA*t)+[b+a*kA/(kA—kB)]e^(kB*t)，pC(t)≡+∞；
③(3)t→+∞
pA(t)，pB(t)，pC(t)，
pB(t)/pA(t) → +∞；
