格子Botlzmann方法·元素与代码实现

格子Boltzmann方法起源于气体动理学理论，其思想是从气体分子的微观机制研究其宏观特性，如考察气体分子间的相互作用，获得气体的黏性系数、热传导系数和扩散系数等宏观特性；通过考察分子的碰撞和流动过程获得流体的压力、动量、能量等宏观物理量的演变规律。这一过程可由Boltzmann输运方程描述为：

一个完整的格子Boltzmann方法实现主要分为四个元素：格子（离散速度）模型，平衡态分布函数，演化方程和宏观量计算。

格子模型按照维度来说一般分为二维和三维模型，其中二维最常用的为D2Q9模型（注：此处的D2指的是二维平面，Q9指的是9个速度方向），即将二维平面的速度以九个方向的分速度近似，如图1所示：

在程序中实现为：

针对三维问题，最常用的格子模型为D3Q19模型，其示意图为：

在程序中实现为：

定义了格子（离散速度）模型之后，如何设计正确的平衡态分布函数也是格子Boltzmann方法的一个关键元素。对于流体流动问题，平衡态分布函数是面向密度设计的，表达式为：

 其中  为权重系数，其取值为：

               ，

在程序中实现为：

和

平衡态分布函数中的表示离散格子速度，定义为 ，表示格子声速（标量），在D2Q9和D3Q19格子模型中，其定义为。当我们取时，平衡态分布函数简化为：

在程序中实现为：

值得注意的是，D2Q9和D3Q19的平衡态分布函数实现是一样的。

当我们使用单松弛，即BGK碰撞模型来简化Boltzmann方程的碰撞项  时，格子Boltzmann方法的演化方程为：

在程序中有两种实现方式，一种是碰撞流动分开两个循环，一种是碰撞流动在一个循环。先说第一种碰撞流动分开的形式，其实现为：

第二种碰撞流动写在一个循环的实现为：

最后一个元素是宏观量密度和速度的计算，其公式为：

，   

在程序中实现为：

至此，设计好这四个元素，再结合相应的边界条件即可模拟流体流动。下面给出了一个顶盖驱动流问题的部分模拟结果：