悬链线与双曲函数、反双曲函数（1）

    ## 写在最前面：这是一道物竞题，培训时做到，现回忆起，和双曲函数、反双曲函数一起讲解。

        悬链线：一根密度均匀的绳子或铁链两端固定在水平杆上，受重力作用自然下垂后形成的曲线。

        下面我们来求解悬链线方程。

        为方便起见，认为绳子（当然也可以是铁链，下略）两端固定在同一高度上。（事实上，如果不在同一高度，结果也是类似的，只不过是其一部分罢了）同时，设绳子最低处为坐标原点。

        为方便求解，引入以下参数。

            ：绳子线密度

            ：重力加速度

            ：悬链线切线与水平面夹角，如图所示

        显然，我们需要研究绳子微元。

        考察横坐标为处，长度为的绳子微元，则其所受重力为。对绳子进行受力分析，如图所示

        注意：我们并不在意绳子张力究竟是多少，我们只是在意绳子张力的差值是多少。

        根据受力平衡，得到

        两式相除，得到

        根据角度关系，有

        此处为常量，因而有

        于是得到

        这是核心的微分方程。

        下面开始解微分方程。

    ## 分离变量

    ## 两边积分

        根据积分公式

    ## 这里面的叫做反双曲正弦函数，后面的专题中会提到。

        我们得到

    ## 这里面的叫做双曲正弦函数，后面的专题中会提到。

        根据处，我们得到

        故

    ## 分离变量

    ## 两边积分

        根据积分公式

        我们得到

        根据处，我们得到

        故

        这里的仍然为未确定的参数，取决于绳长和两悬挂点间距。