很水的数学分析085：充满正方形的连续曲线(Peano曲线)

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Peano曲线

1维实数和n维实数点可以构成双射，构造方法是交错。这就是构造Peano曲线的核心思想。

细节：

①由Weierstrass判别法知参数曲线连续。

②无限小数跟级数统一，由闭区间套保证，所以可以用级数来表达无限小数。为了分类情况数少，采用二进制。

③跟Weierstrass函数的构造有一个浅相似思路，就是在周期函数中，想办法让级数的一部分清零（周期的整数倍）

结尾感想：尽管人类（哪怕是聪明如数学家）观念固化的故事天天上演、屡见不鲜，（如毕达哥拉斯接受不了无理数就是例子），但是再次听到“病态函数”的新故事还是不可名状的震撼。人们不偏狭是不可能的，但学数学会让我们的偏狭少一点，再少一点。

（插播广告：Maki's Lab就仿佛开启实分析的大门的组织，但多数人的思维还停留在工业时代，只能理解传统大学的价值）