数学分析 陈纪修老师 1080p高清版(全集)

P25 Heine定理证明中逻辑的说明

必要性：

我们对任意0<|x-x0|<δ的x都成立|f(x)-A|<ε，于是因为证明了xn也符合这个条件（黑板右下角），所以x可以取xn。

当x取xn时，带入|f(x)-A|<ε，故|f(xn)-A|<ε成立。必要性得证。

充分性：

设命题p为“对于……=A”（定理第1-3行），q为开头的那个极限式子（定理第1行）成立。先给出了非q的分析表述。证明必要性，就是要由p推出q。

用反证法就是设结论不成立，推出矛盾。我们需要通过非q推出非p（矛盾）。

非q开头提到了“存在……”（充分性第5行），所以要满足非q只需要找到一个满足条件的例子，下面就给出了一个例子（充分性第8行）来满足非p。

在这个情况下已经有了非p，于是我们想要用这个推出非q。非q成立但是p不成立（P67第2行），即非q能推出非p。

于是p能推出q【如果不了解离散数学，可以这样想：“如果我没坐车回家（非q），就说明没下雨（非p）”和“如果下雨（p），我就坐车回家（q）”表达相同的意思）】

故命题得证，充分性成立。

【内容整合自本人弹幕】

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