《虚数不虚》第七节 重新认识乘法

本节内容是对上一节“拓展阅读”中问题的解答与延伸。

为便区分，被乘数用红色、蓝色表示，结果用绿色表示。

我们首先研究乘法中角度（辐角）的关系。

我们看后两个例子，通过反正切函数计算角度

我们发现结果的角度等于相乘数角度之和。这是我们要找的第一个结论：两个复数相乘，其辐角相加。

我们接着研究乘法中长度（模长）的关系。

我们看前两个例子，虽然它们角度相同。但是由于被乘数大小的不同，导致了结果大小的不同。

通过勾股定理

我们发现后者的长度恰好是前者的两倍。这是我们要找的第二个结论：两个复数相乘，其模长相乘。

至此，我们找到了复数乘法另一种解读方式。虽然这与代数方法截然不同，但两者是等价的！由于复数的乘法只与模长和辐角相关。数学家便用这两个数来表示复数，这种形式也称极坐标形式，用在乘法运算中特别方便。

译至此处，笔者想用苏轼的《题西林壁》作为结尾，来表达我们从另一个角度窥见真理的快意。宇宙还有更深的真相，数学帮助我们接近真相。

拓展阅读

利用今天所学的知识，我们用新的方式解读“和差化积”公式。

首先，让我们先用极坐标形式分别定义两个模长为1，辐角为α、θ的复数：

1∠α

1∠θ

让我们考虑这两个复数的乘法，显然，结果的模长还是1，辐角是这两者的和：

(1∠α)*(1∠θ)=1∠(α+θ)

其次，我们把这三个复数写成代数形式：

1∠α=cos(α)+isin(α)

1∠θ=cos(θ)+isin(θ)

1∠(α+θ)=cos(α+θ)+isin(α+θ)

（注：isin(α)是sin(α)*i的等价写法，其中*代表“乘”）

接着，我们把下式左右展开：

(1∠α)(1∠θ)=1∠(α+θ)

左边

=(1∠α)(1∠θ)

=[cos(α)+isin(α)]*[cos(θ)+isin(θ)]

=cos(α)cos(θ)+cos(α)isin(θ)+isin(α)cos(θ)+isin(α)isin(θ)

=[cos(α)cos(θ)-sin(α)sin(θ)]+i[cos(α)sin(θ)+sin(α)cos(θ)]

（注：两个三角函数相乘可以省略乘号，比如sin(α)cos(θ)是sin(α)*cos(θ)的等价写法）

右边

=1∠(α+θ)

=cos(α+θ)+isin(α+θ)

左边＝右边，等价于左边的实部等于右边的实部，左边的虚部等于右边的虚部：

cos(α)cos(θ)-sin(α)sin(θ)=cos(α+θ)

cos(α)sin(θ)+sin(α)cos(θ)=sin(α+θ)

特别的，当α=θ，我们把上面的两个公式稍加修改便能得到

cos(α)cos(θ)-sin(α)sin(θ)=cos(α+θ)

cos²(θ)-sin²(θ)=cos(2θ)

（注：三角函数的平方通常写在函数名后，如sin²(θ)是[sin(θ)]²的等价写法）

cos(α)sin(θ)+sin(α)cos(θ)=sin(α+θ)

2sin(θ)cos(θ)=sin(2θ)

这便是和差化积公式，你理解了吗？