黎曼积分的一些思考

在学习微积分的时候 我曾经思考过这个问题 为什么定积分和划分的方式无关

首先我们从陶哲轩实分析抄一些定义做准备

我们先考虑有界区间上有界的函数

有界区间

    都是有界区间

区间长度

长度为

长度都是 

划分

定义有界区间 上的划分 其中 都是有界区间

而且  

对  作数学归纳可以很容易证明 

引理:有界区间的交集还是有界区间

很容易证明 穷举就完事了

上黎曼积分是上黎曼和的下确界

首先这个定义是没有问题的 因为有下界  就有下界 

有下界那一定有下确界

同理可以给出下黎曼积分 

如果函数的下黎曼积分等于上黎曼积分 那么就是黎曼可积的

首先闭区间上连续函数的上黎曼积分和划分方式是无关的

引理 假设 是一个划分序列 而且  是比 严格精细的划分

这里我指的严格精细 意思就是   中的每一个 都满足 

那么可以证明 

我不知道我这个条件是不是给的有点太充分了 留给以后思考吧

先证明右边收敛

如果令  那么 一定是单调减的

这个可以把 的划分按照 的方式去拆解 然后作差证明得到，因为子集的上确界一定小于父集合的上确界

单调有界 因此一定收敛

再证明上黎曼积分等于 

我们任取一个划分, 然后把和 中的有界区间作交集得到更精细的划分 

记 

同理可以倒倒  而且 

但是如果 一致收敛那么  就很有意思了

很容易发现当我们去套一致收敛的定义，如果对的 就有 

也就是说 

首先我的划分集合是划分的子集，所以的下确界一定大于等于它的父集合的下确界

又因为我在父集合中找任意一个 它的上黎曼和大于等于 的极限 所以 极限也是上黎曼和的下界, 所以上黎曼和的下确界大于等于  极限

所以对于一致连续的函数 不管是怎么一个序列 只要是严格的更精细化分 它的上黎曼和的极限一定等于上黎曼积分

一致连续函数在有界区间上黎曼可积

还是同样的思路, 我考虑一个严格精细划分序列 用来求上黎曼积分和下黎曼积分

我记对应的上黎分和序列和下黎曼和序列分别为 和 同样也发现只要 取得足够大都可以有  

所以这两个数列的极限是相等的 所以一定黎曼可积