UP在闲暇时花了点时间去推导恒压电源给电容充电，电容电压和时间的关系式。推之前UP并没有去看过有关这些公式的推导过程，也许采用的方法比较笨，但是推完还是挺自豪的，写篇专栏水下。_(:з」∠)_

在网上搜的话会有直接现成的公式，这里先给出：

式子相关参数

Vt：电容的瞬时电压（伏特、V）

V0：电容的初始电压

Vcc：电源的电压（充电电压）

t：时间（秒、s）

R：电阻（欧姆、Ω）

C：电容容量（法拉、F）

e：自然常数，≈2.7182818284

分析过程：

首先画一个电路图：

看不懂？转换下形式看得懂了吧：

      现在不妨定性分析下：刚开始时，电容初始电压和电源电压的差值最大，所以充电电流最大，电容电压迅速上升。随着充电，电压差越来越小，充电电流越来越小，电容电压上升速度也会逐渐减慢。最后逐渐接近电源电压。

所以该函数是个上凸函数，一次求导＞0，二次求导＜0。

这里给出其图像：

计算时，要动用三条公式：

I：电流（安培、A），Q：电荷量（库伦、C）

U指的是电容上的电压，相当于Vt。

 

现在这里有个问题，电容电压随时间变化，而充电电流又随电容电压变化，影响着电容电压的变化，怎么计算呢？这里要做些假设。

1、设电容电压不会因为电流流入而变化，即电容电压不变，这样电流也恒定了，方便计算。

2、充电一段时间后，计算这段时间充进来的电荷，然后计算电容的电压，然后让电压突变。

 

      这样电压就不是曲线变化，而是突然变化了。这样能简化计算过程，但是误差比较大，怎样减少误差？

 

我们给一个电容充电充了t秒，然后把t秒分成n等份，每份充电时间为△t。

比如n=1，t=2，我们给电容充了2秒电，然后2秒后电容电压突然变化。

比如n=2，t=2，充1秒电，电容电压突变一次，1秒后，再突变一次。

……

当n→+∞时，每隔△t秒，电容电压突变一次。这样最后的电压十分接近真实值了。

推导过程：

各位可以尝试先从n=1，n=2推几次，熟悉下过程，这里直接给出n=n的过程。

 

从Vt=Q/C开始，把电容上的电荷Q分n+1份，其中Q0是电容初始的电荷量，剩下的Q1，Q2，…（n份）是在每一阶段充进的电荷量。借助Q=I△t，把Q转化I，再把欧姆定律代入，得到下式。

怎么突然冒出一堆V出来了？别慌，把V拆开。

V1=V0+I1△t/C

V2=V0+I1△t/C+I2△t/C

V3=V0+I1△t/C+I2△t/C+I3△t/C

……

继续拆开式子

回到原点？没事，继续重复操作即可，重复n次

继续拆

循环拆解，最后我们得到Vt的展开式

剩下的就是数学的问题了。

注意式子中有带有上下标的C，那个是数学的组合式，不是电容的符号C。

现在我们已经得到Vt简化后的式子，我们只需对它进行剩下的处理。

最后我们令n→+∞即可。

至此，电容充电的电压与时间的关系式推导完成！

      如果我们想知道把电容的电压充到某个值所需要的时间，只需把这个式子变换下形式，把t抽出来即可。这里给出它的表达式：

后记

虽然说UP花了点时间去推导，其实是花了几天。UP仅仅知道些极限的知识，对于高等数学完全一窍不通，就尝试用初等数学的方法推导，很多同学都不看好我能推出来，叫我放弃，最后我竟然推出来了！ε=ε=(ノ≧∇≦)ノ

感谢杨月华给我补充极限方面的知识。

如果发现有错误欢迎在评论区指出。

送上一些UP的手稿以及一些推导过程的发现（对于学过高等数学的可能这不算发现吧）

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