《几何原本》命题1.47【夸克欧氏几何】

命题1.47：

在直角三角形中，斜边上的正方形等于两直角边上的正方形之和

已知：Rt△ABC，其中∟BAC是直角

求证：BC上的正方形等于AB，BC上正方形面积之和

解：

在BC上建正方形BDEC

（命题1.46）

在AB上建正方形ABFG

（命题1.46）

在AC上建正方形ACKH

（命题1.46）

过点A作AL∥BD或CE

（命题1.31）

连接AD，FC

（公设1.1）

证明：S正方形BDEC=S正方形ABFG+S正方形ACKH

证：

∵∟BAC，∟BAG为两直角

（已知）

∴AC，AG在同一直线上

（命题1.14）

∵∟DBC=∟ABF

（定义1.22＆公设1.4）

∴∟DBC+∠ABC=∟ABF+∠ABC

即∠ABD=∠FBC

（公理1.2）

∵BD=BC，AB=BF

（定义1.22）

∴△ABD≌△FBC

（命题1.4）

∴S△ABD=S△FBC

（公理1.4）

∵BD公用，AL∥BD

（已知）

∴S矩形BL=2S△ABD

（命题1.41）

∵BF公用，BF∥CG

（定义1.22）

∴S正方形ABFG=2S△FBC

（命题1.41）

∴S矩形BL=S正方形ABFG

（公理1.1）

同理可证S矩形CL=S正方形ACKH

∴S矩形BL+S矩形CL=S正方形ABFG+S正方形ACKH

即S正方形BDEC=S正方形ABFG+S正方形ACKH

（公理1.2）

证毕

 

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