【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep73】子列的概念

今天开始学习另一种好用的分析工具，适用于看上去具有某种周期性的数列，关键是看上去，考验观察力和对函数例子的积累与理解。

40部分数列及部分极限

1.子列的定义

子列/部分数列，即从已知数列{xn}选出一个 全新的数列，操作如下——

1. 从{xn}选出第一项xn1作为子列的第一项，n1>=1；
   

2. 从{xn1，xn1+1，……}选出xn2作为子列的第二项，n2>=n1；

3. 以此类推，……

4. 从{xnk，xnk+1，……}选出xn（k+1）作为子列的第k+1项，n（k+1）>=nk；

5. 由此构造出{xn}的一个子列。

从这个过程可以得出以下性质——

1. 1<=n1<=<=……<=nk<=n（k+1）；

2. k<=nk。

所以，子列的第k项xnk一定在原数列中排在第k项之后。

2.性质一：收敛数列的子列必收敛，且极限相同——

已知：数列{xn}有极限x；

求证：该数列的任意子列{xnk}有极限x。

证明——

1. 已知数列{xn}有极限x，即对于任意小数ε>0，存在自然数N，k>N时，|xk-x|<ε；

2. {xnk}为{xn}子列，则有nk>k；

3. 综合1,2，对于任意小数ε>0，存在自然数N，nk>k>N时，|xnk-x|<ε，证毕。

3.性质二：无确定极限的数列的能选出收敛子列——

举例说明——

1. xn=（-1）^（n+1），存在子列x2n=（-1）^（2n+1）=-1，极限为-1；

2. xn=（-1）^（n+1）n，存在子列x2n=（-1）^（2n+1）（2n）=-2n，极限为负无穷大；

3. xn=（-1/n）^（n+1），存在子列x2n=（-1）^（2n+1）[1/（2n）^（2n+1）]=-[1/（2n）^（2n+1）]，极限为0；

4. xn=0.n，xn*（10^n）=0.n，它的所有子列极限构成一个无穷集合。

4.性质三：无界数列恒有无穷大子列。

证明（以无上界数列举例）——

1. 因为数列{xn}无上界，即对于任意大数E>0，存在自然数k，使xk>E；

2. 对于任意xj，一定存在k>j，使得xk>xj：（反证法）假如存在xj，使得对任意k>j，使得xk<=xj=M2，又因为对任意n<=j，xn<=max{x1，x2，……，xj}=M1，则数列存在上界M=max{M1，M2}，与数列无上界矛盾，得证；

3. 由1,2可知，对于任意大数E>0，存在自然数k，使xnk>xn>E，得证。
   

就到这里!