求三角形面积的5种情况

计算三角形的面积, 是平面几何里很常见的问题.

其他的多边形, 例如四边形, 五边形等, 都可以分割为三角形; 求它们的面积, 也可以转化为求三角形的面积.

计算三角形的面积, 有以下 5 种基本情况.

1. 已知一边及该边上的高

这是最基本的情况, 无需画图,

设该边长度为 , 该边上的高为  , 直接用公式:

2. 已知两边及其夹角

在 ΔABC 中, 已知

作出 BC 边上的高 AH,

在 Rt ΔAHC 中,

3. 已知三条边

在 ΔABC 中, 已知

BC = a, AC = b, AB = c.

过 C 作 CH ⊥AB 于点 H,

设 ,

则 ,

在 Rt ΔACH 中,

             ①

在 Rt ΔBCH 中,

  ②

① - ② 得

根号里的式子, 可以因式分解, 大家可以尝试一下^_^.

4 已知一边及两个角

此情况又可以分为 2 种情况.

Ⅰ 若已知的角都为已知边的邻角, 则图形如下:

在 ΔABC 中,

 ,

过 C 作 CH⊥AB 于点 H,

设 ,

则 ,

在 Rt ΔACH 中,

在 Rt ΔBCH 中,

解得

则

Ⅱ 若已知的角之一为已知边的对角, 则图形如下:

在 ΔABC 中,

, , ,

过 C 作 CH⊥AB 于 H,

在 Rt ΔBCH 中,

在 Rt ΔACH 中,

则有

5 已知两边及其中一者的对角

这种情况比较特殊, 可能有 2 个或者 1 个答案, 也可能无解.

在 ΔABC 中, 已知

Ⅰ 若 a < b · sin θ, 则该三角形不存在,

如果 BC 的长度, 比点 C 到 AB 的距离, 还要短, 则点 B 不可能落在 AB 所在的直线上,

因此, 在此情况下, 本题无解.

Ⅱ 若 a = b·sin θ, 则存在唯一的 ΔABC, 如下图:

过 B 作 BH⊥AC 于点 H,

设 ,

在 Rt ΔABH 中,

则有

在 Rt ΔBCH 中,

于是

配方得

Ⅲ 若 b·sin θ < a < b, 则存在 2 个三角形, 如下图:

,  ,  ,

,

和  都满足条件, 但面积不同.

过 C 作 CH⊥AB 于点 H,

在 Rt ΔACH 中,

在 中,

同理,

于是,

Ⅳ 若 a ≥ b, 则存在唯一的三角形, 

计算方法与 Ⅲ 类似, 结果为: