一道有争议的概率题

【问题】一对夫妻有两个孩子（为了严格起见，加上条件：非双胞胎），其中一人为女性，生于2000年1月1日00:00瞬间；求另一人为女性的概率。

这是个经典争议题的变种。答案还是比较反直观的。Formal的写法是这样的：

注释如下。为了避免歧义，首先界定(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})，之后什么都好说。

g表示性别（离散变量），t表示出生时刻（连续变量），由此构成的向量(g_1,t_1,g_2,t_2)构成了样本空间。

测度是这样的：因为不是双胞胎，可以认为两人性别是独立的，男女分别为1/2；出生时间与男女一般也是独立的吧；但是两人出生时间不是独立的（在正负十月里面肯定是零概率），这个联合分布记为\pi(t_1,t_2)。我们不知道这个\pi到底是怎样的。

这样概率空间就说清楚了。然后套一下条件概率公式，发现结果中的\pi刚好消掉，答案就是0.5。

【Remark1】题目在文字上有一个歧义。“其中一人为女性”，如果理解为“A为女性”，或者“存在一人为女性”，在数学上不一样。上面的解答理解为第二种。

【Remark2】如果去掉时间因素，「已知一人为女性，另一人也是女性的概率为？」这时候答案为1/3，这是一道很经典的争议题。争议点在于remark1。现在排除了这个歧义，答案就很清楚是1/3。

【Remark3】但是奇怪的是，如果考虑进时间因素（也就是这道题这个变种），概率却又从1/3变成了1/2，而且是严格的1/2而不是依赖于时间分布的近似的1/2。这里面到底发生了什么，我也还没想清楚。

【Remark4】另一个变种是：「已知一人为女性且出生在周一，另一人也是女性的概率为？」答案也偏离了1/3，变成13/27，但是也不是1/2。这说明离散和连续的时间也是有区别的。这里面又发生了什么？我也不知道。

【Remark5】有一个说法是，信息越多（无限定->出生在周一->出生在2000年1月1日00:00，相当于一个向后的sigma代数流），条件概率越接近1/2。这点在数学上可以证明吗？之后可以再研究一下。

【Remark6】还可以做一些别的变种，比如考虑身高（连续），班级（离散）等等。

题图【fishman】pid80075502 by HJL。