川大徐小湛《高等数学》（上册）（共73讲）

27.微分

一、微分概念与定义

1.微分的概念

2.微分的定义

可微（线性主部）：AΔx→记作dy

Δy=AΔx＋o（Δx）

d：differentia（德语）

3.Δy与dy不同（Δy实际变化量，dy近似变化量）

Δy≈dy 误差：o（Δx）

4.可微与可导的关系

dy=f′(x)Δx （充分必要条件）

dy/Δx=f′(x) Δx=dx

5.证明可微可导，互相转化

微积分与导数的相互转化，数形结合更方便

6.导数：微分之商：微商（可拆成除法）

7.可微、可导、连续、有极限之间关系

分析：可微→←可导

可微→可导→连续→有极限

二、微分的几何意义

1.几何意义（之一）

f′=tan （该点导数等于该点切线斜率）

dy=QP

dy=切线函数的增量

2.局部线性化（切线方程）

局部用切线代替曲线→想到泰勒公式→确定函数

三、微分公式与运算法则

公式：dy=f′(x)dx

微分为导数与dx的乘积（导数与微分，在某种程度上互为逆运算）

(△)′ = f′(x) → d(△)＝f′(x)dx

∴已知导数，可求得原函数

已知f′(x)dx，可求d(△)，进而了解△原函数。

复合函数的微分：微分形式不变性

g(x)＝u

从外层向内层逐层微分，直到dx出现

例：

例隐函数求微分：

1.取对数

2.两边同时直接求微分

总结：微分法求隐函数导数，是一种好方法。求微分时，不必考虑自变量是谁，因变量是谁，x、y地位平等。而求导数时，x为自变量，y为因变量，x、y地位不平等。

课内练习：

df(xy)与d(xy)不同：

df(xy)＝f'(xy)d(xy)→微分表达式

d(xy)＝(ydx＋xdy)→微分运算

先求微分，再求导数，也很方便

凑微分：不要忽视系数，系数很重要

考研题：

常用：(△)的x次方=e的xln(△)

(△)x = e xln(△) lne＝1→e1=e

逐层微分&直接微分

需再看

四、微分在近似计算中的应用

1.函数增量的近似公式

Δy=f(x0＋Δx)-f(x0)

Δy=AΔx＋o（Δx）

Δy≈f′(x0)Δx

2.函数值的近似计算公式

0处：局部用切线代替曲线，局部线性化

例子：近似某点的值，局部线性化很方便。如推导等价无穷小（有点像泰勒），加减很方便。

几何表示：（0附近的图像，局部线性化）

例子证明题：（x＝0处，局部线性化，证明很小或者小于，还是挺方便的）

强大的近似计算：（任何近似都方便了）

28微分中值定理（1）

一、罗尔定理

费马引理：

f(x0)处可导，取得极值→f′(x0)=0（切线水平）

证明：（极限的局部保号性）

费马猜想：↓