费马大定理是勾股定理的推广

费马大定理是勾股定理的推广。勾股定理在实数范围内成立，费马大定理就是勾股定理在实数范围内的推广。将费马大定理简单描述如下：

d^n+h^n=p^n，其中，n 为正整数，当n＝2 时，有整数解，即 d，h，p 皆为整数，当 n≥3 时，无整数解，即d，h，p 不全为整数。

下面举一些例子来看一下当 n≥3 时，费大马定理与勾股定理之间有怎样的联系，进而得出文章开头给出的结论。

在 d^n+h^n=p^n 中，设 n＝3 ，则d^3+h^3=p^3，式中，d，h，p不全为整数。当 d＝3，h＝4 时，得  3^3+4^3=p^3，p 不是整数。得 3^3+4^3=91＝(∛91)^3，p＝∛91，这是费马大定理的一个实例，举这个实例的作用是便于直观的作比较。

对于式 d^3+h^3=p^3 ，  作 恒 等 变 换得  d*d^2+h*h^2=p*p^2 ，再作恒等 变换得 (√(d*d^2))^2+(√(h*h^2))^2＝(√(p*p^2))^2，可以看出 d^3+h^3=p^3可以写成勾股定理的形式，当d＝3，h＝4 时，由 (√(d^3))^2+(√(h^3))^2＝(√(p^3))^2 ，得(√(3^3))^2+(√(4^3))^2＝(√91)^2，这是勾股定理的形式，不过它的取值范围 是 实 数，而 非 正 整数，即在直角三角形中，当一个 直 角边的长度 为√(3^3) ，另一个直角边的长度为 √(4^3) 时，斜边的长 度 就 等 于 √91。

对于费马大定理中，n≥4 时的情况，可以依次类推，都可以写 成勾  股  定  理的形式，作图可以验证它是成立的。

在勾股定理 a^2+b^2=c^2 中，可以引入三个实数，使这个式子仍然成立。设 L，M，N 是 三 个 任 意 实 数 ，则 L*a^2+M*b^2=N*c^2 成立。例如：4×3^2+10×4^2＝14^2，将这个式子作恒等变换，也写成勾股定理的表示式是：(√(4*3^2))^2+(√(10*4^2))^2＝14^2，即在一个直角三角形中，一个 直 角边的长度 为 √(4*3^2)，另一个直角边的长度为 √(10*4^2) 时，斜边的长 度  等 于 14。而 a^2+b^2=c^2 这个公式是当 L＝M＝N＝1 时的一种形式。

虽然费马大定理是没有正整数解的，它的解可能是一个无理数，书写起来很不方便，毕竟还有非常多的无理数不能写成类似 √N (N是正整数) 那样的简单形式，但是，通过在恒等式中引入一些系数，这些系数都是正整数，那么，这些恒等式书写起来就比较方便，看起来也直观一些。但费马大定理的解仍然不是正整数。

我曾经在 《探索勾股定理》 一文中提到勾股定理在实数范围内是成 立  的，任意两个正整数的加法可以看成 是 勾 股定理的简写，例如 3+4=7 是一个加法算式，将它作恒等变换后写成 √3^2+√4^2＝√7^2，这个等式的意义即，在一个直角三角形中，一个直角边长度为√3，一个直角边长度为√4，斜边长就是√7，简记为  3+4=7，能这样书写是由于 √3^2+√4^2＝√7^2 与 3+4=7 是恒等变换。其实在前面对费马大定理的讲述中我一直在用这一方法。即把费马大定理公式 d^n+h^n=p^n 用恒等变换写成勾股定理的形式，就能看出勾股定理与费马大定理之间的联系。

下面这张图就是把费马大定理恒等变换成勾股定理的形式，并用具体的数取代公式中的字母，把它们一一画在了图中，图中有我们很熟悉的勾股定理即勾三股四弦五，我把它们统一作到平面坐标系中进行比较。如下图

我先简单介绍一下这张图，在平面直角坐标系中，原点是 O(0,0)。其余各点坐标分别是：

A(3,4)，B(√(3^3),√(4^3))，C(6,8)， D(√(4*3^2),√(10*4^2))。

每一点的坐标都对应着勾股定理，即横坐标的平方加纵坐标的平方等于另外一个数的平方，其中，具有正整数解的勾股定理是费马大定理的一种特殊形式，或者说，费马大定理是勾股定理在实数范围内的推广。

从图中可以看出，⊿AOE，⊿BOF，⊿COG，⊿DOH 这些直角三角形都是相似三角形，因此，对应边都是存在比例关系的。其中，⊿COG 的两条直角边分别是⊿AOE 对应直角边的两倍，即给定一个勾股数(3,4,5)，对应图中的 A 点，将其中的每一个数乘以2，即得到另外一个勾股数(6,8,10)，对应图中的 C 点。A点与 C 点在一条直线上，因此，这些勾股数之间存在线性关系。即设 (a,b,c) 是勾股数，则对于任意实数 N，(N*a,N*b,N*c)也是勾股数。

图中所有的直角三角形都是相似三角形，因此，这些不同直角三角形所代表的勾股数之间也是存在关联的。

⊿AOE 对应的勾股数是 (3,4,5)

⊿COG 对应的勾股数是(6,8,10)

⊿BOF 对应的勾股数是(√(3^3),√(4^3),√91)

⊿DOH 对应的勾股数是(√(4*3^2),√(10*4^2),14)

这些不同的勾股数之间的关系是种线性关系，对费马大定理作恒等变换的过程正是基于这一线性关系实现的。我在《探索勾股定理》 一文中提到，任一个勾股数都与一个复数相对应，具有这种对应的任意两个复数相乘的结果仍然对应着一个勾股数，因此，满足这一条件的运算应该构成一个乘法群。

勾股定理不仅在平面坐标系中成立，在三维空间直角坐标系中也成立，即a^2+b^2+c^2=d^2，乃至在任意维坐标系中都成立，即a₁² +a₂²+a₃²+…+aₙ²＝k²，式中 a₁，a₂，a₃…aₙ，k 皆为实数。因此，在任意维空间中，都存在着相似的线性关系。例如在三维空间中给定一勾股数(12,15,16,5)，对应下式

12^2+15^2+16^2＝5^2。同样的，在三维空间中，当 n ＞2的正整数时，a^n+b^n+c^n=d^n，也没有正整数解。例如，12^3+15^3+16^3≈95.91。在更高的维度中，勾股定理仍然成立，费马大定理也成立。

14*2^5+18*3^5+6*4^5+2*5^5+2*6^5＝8^5 ，这是在更高维度中成立的勾股定理，通过恒等变换，把它变为平方和的形式，即可确定勾股数。请注意，2^5+3^5+4^5+5^5+6^5 是不等于8^5，说明它符合费马大定理，而只要在这个式子中加上一些系数，它两边就变得相等了，这些系数是线性关系的一种反映。

如果在费马大定理公式中引入一些系数，把它变成如下的样子

M*d^n+F*h^n=Q*p^n，式中，M，F，Q 为任意正整数，其它字母含义如费马大定理所示。那么，当M＝F＝Q＝1时，即公式 a^n+b^n＝c^n。当 M＝F＝Q＝1 且 n＝2 时，即公式

a^2+b^2＝c^2，便是勾股定理的一般表示式。

对于 n 维空间中的费马大定理则写成下式

q₁*a₁ⁿ +q₂*a₂ⁿ+q₃*a₃ⁿ+…+qₙ*aₙⁿ＝m*kⁿ，q₁，q₂，q₃…qₙ，m 皆是系数。

同样的，所有字母的取值一如二维费马大定理的要求，当 n＞2 且取正整数时，没有正整数解。当 n＝2 时，公式变为

    q₁*a₁² +q₂*a₂²+q₃*a₃²+…+qₙ*aₙ²＝m*k²

当q₁＝q₂＝q₃＝…＝qₙ＝1，且 a＝2时

    a₁² +a₂²+a₃²+…+aₙ²＝k²，这便是勾股定理更一般的形式。