帕底亚地区数学水平摸底测试（仅供娱乐）
事先声明：与游戏中数学课偏对战的数学问题不同，本卷为正经数学题，题目数据纯属虚构，如有雷同，纯属巧合。
话说也有段时间没更数学相关的内容了，这次也算是更一波了。懒得画图和用LaTeX公式了，所以题目是纯文字的（但其实也有几何题，自己画图就行了）。难度应该也就是小学、初中、高中、大学数学能接触到的正常水平。
不保证每题都是对的，有错也欢迎各位大佬指出！
0. 数学课程的任课老师为：____。（本题答对不加分，答错得分减半）
1. 土王会让乌波坐在自己背上，并将它们送到河对岸。现有194只乌波要到河对岸去，土王每次可以送6只乌波。
①送了6次后，还剩几只乌波要到河对岸？
②如果土王从河的一端游到另一端需要2分钟，则从第一只乌波坐上土王到最后一只乌波抵达河对岸为止，土王总共游了几分钟？（不计算乌波上下土王的时间）
2. 索财灵会为了回到原本的宝箱里四处徘徊。在某张帕底亚地区的地图上，索财灵距离它的宝箱8厘米。它在徘徊了一段时间后，实际距离原先位置10千米，在这张地图上距离它的宝箱3厘米，且三点构成等腰三角形。不考虑高度变化。
①计算出该地图的数值比例尺。
②画出该地图的线段比例尺。
3. 一家鼠可能由3只鼠或4只鼠组成。现有若干一家鼠，为知道鼠的数量，对它们进行“鼠数儿”：4只4只数，没有余数；6只6只数，余2只；9只9只数，余5只。
①总共至少有几只鼠？
②如果3只鼠的一家鼠家庭数量占一家鼠总体家庭数量的比例在0.9%~1.1%之间，且从每一家鼠中各拿出1只鼠，余下鼠的数量仍满足之前“鼠数儿”的结果，则余下鼠的数量至少为多少？
4. 盐石宝在地面上走过就会留下盐迹，假设盐石宝留下的盐迹是均匀的。现取1小时内一只盐石宝的盐迹，将其中的盐完全溶解在100g的水中，可得浓度为7.4%的盐水。
①这只盐石宝1小时内的盐迹中有多少克盐？（保留2位有效数字）
②往该溶液中加入80g的水后，欲得到浓度为10%的盐水，还需要加入盐石宝几小时内盐迹的盐？（保留2位有效数字）
5. 古简蜗、古剑豹、古鼎鹿、古玉鱼这四只灾厄宝可梦位于同一平面内的不同位置。其中任意三者可构成三角形，这些三角形全等。
①证明：这四只灾厄宝可梦构成矩形。
②古鼎鹿、古简蜗、古玉鱼、古剑豹按照1:2:3:4的速度向其所构成矩形的中心笔直走去，且古鼎鹿和古剑豹初始位于矩形的对角。当古剑豹到达中心时，其余三只灾厄宝可梦构成直角三角形。求该直角三角形最小内角的正切值。
6. 海豚侠能变身成大海的英雄并以极高的速度跃出海面，其跃出海面的轨迹是一条抛物线。以米为单位，刚跃出海面时的点为坐标原点，竖直向上方向为y轴建立平面直角坐标系。该抛物线完全位于平面直角坐标系中，满足二次函数y=ax²+bx+c，且顶点为(5, 25)。
①求该二次函数的表达式。
②以相等时间间隔对跃出海面的海豚侠进行拍照，拍得3张照片，其对应点的x坐标之间差值相等。已知这3点均在海面上方（即y>0），且这3点所构成的三角形的面积为8m²，求这3点中最高点的高度的取值范围。
7. 悖谬宝可梦是在帕底亚巨坑被发现的一系列特殊的宝可梦，所有的悖谬宝可梦可以构成一个集合U={雄伟牙, 吼叫尾, 猛恶菇, 振翼发, 爬地翅, 沙铁皮, 轰鸣月, 翼大王, 铁辙迹, 铁包袱, 铁臂膀, 铁脖颈, 铁毒蛾, 铁荆棘, 铁武者, 铁大蛇}（※不包括波荡水、铁斑叶等更新后的悖谬宝可梦），其有三个子集A、B、C，且A∪B=A∪C=B∪C，A∪B∪C=U，A∩B∩C=∅。
①记符号card(X)表示有限集合X中的元素个数，如card(U)=16。求card(A)+card(B)+card(C)。
②若集合A={雄伟牙, 吼叫尾, 猛恶菇, 振翼发, 爬地翅, 沙铁皮, 轰鸣月, 翼大王}，且在集合B中随机等概率选取2只宝可梦，在集合C中随机等概率选取3只宝可梦，这5只宝可梦中出现铁大蛇的概率为0.4。请通过计算，写出集合C的一种可能结果。
8. 大电海燕乘着风可以在1天内就飞上700公里左右。假设其沿直线单向运动，位移和时间满足函数f(t)=at+bln(1+t)+ctln(1+t)，其中a、b、c为常数，t的单位为小时，f(t)的单位为公里。在第0时，其位移为0公里，速度为0公里/小时；在第(e-1)时，其位移为12.5公里，速度为12.5公里/小时。其中e为自然对数ln(x)的底数。
①求a、b、c的值，并估算在第19时该大电海燕的位移和速度。(ln 20约为3）
②证明：对于任意t>0，该大电海燕在第t/2时的瞬时速度总是大于前t秒内的平均速度。
9. 帕底亚地区的一位训练家经常和自己的魔幻假面喵、骨纹巨声鳄、狂欢浪舞鸭一起野餐，每天能在野餐篮中发现不少新叶喵、呆火鳄、润水鸭的蛋，设这些蛋的数量构成一个数列{eₙ}，其中n表示天数。{eₙ}中每一项均为自然数，且前5项为等比数列，从第5项起为等差数列。设{eₙ}的前n项和为Sₙ，S₅=781，S₁₀=2121，S₁₅=3561。
①求S₂₀和e₁的值。
②假设该训练家每天孵蛋数量上限hₙ（为自然数）满足：hₙ₊₁=2hₙ-20n-40。该训练家每天在孵蛋上限之内（包括上限）尽可能多孵蛋，多余的蛋会留到之后继续孵。每天剩余未孵的蛋的总数构成数列{uₙ}。已知u₁=1，求{uₙ}的通项公式。
10. 土龙弟弟在进化时有99%的概率进化为二节形态的土龙结结，有1%的概率进化为三节形态的土龙结结。现有10000只土龙弟弟，它们都要进化且它们之间相互独立。
①求进化后土龙结结节数的数学期望和方差。
②记Φ(x)为标准正态分布的累积函数。请根据棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，估算进化后土龙结结节数大于等于20114的概率。
11. 密勒顿在登场时会布下电气场地。已知可将密勒顿看成一个点，且某点的电气场地强度与该点到密勒顿的距离平方成反比。定义某条直线的电气场地强度为：对直线上各点电气场地强度进行反常积分所得的值。
①证明：一条直线的电气场地强度存在的充分必要条件为该直线不穿过密勒顿。
②以密勒顿为原点，建立空间直角坐标系。已知空间中两条直线的方程：A：x+2y+3z+4=0且x+y+z+3=0；B：x-10=2y=z-8，求这两条直线的电气场地强度之比。
12. 故勒顿是摩托蜥在古代的样子，因此两者有着相似的地方。假设从摩托蜥到故勒顿的“轮胎”部分在空间直角坐标系中满足以下变换：(x₁, y₁, z₁)T=K(x₀, y₀, z₀)T，其中(x₀, y₀, z₀)为摩托蜥的“轮胎”部分坐标，(x₁, y₁, z₁)为故勒顿的“轮胎”部分坐标，T为转置符号。K为3行3列的矩阵，第一行为(a, 0.5, 0)，第二行为(0.5, b, 0.5)，第三行为(c, 0, d)，其中a、b、c、d均为常数。通过变换后，坐标(1, 1, 1)T变为(2.5, 3, 1)T，且该“轮胎”部分体积变为原先的5.5倍。
①求a、b、c、d的值。
②在变换过程中，存在若干方向不同的向量，这些向量在变换后方向不变。请求出这些向量。
