X与Y不独立，但 X^2与Y^2 独立

在涉及到随机变量相互独立的问题的时候，我们有时候会觉得，只要两个变量不相互独立，那么，与这两个变量有关的变量，自然也不会相互独立。这种感觉大多数情况是正确的，但也有例外的情况，比如下面的例子：

若随机变量X与Y独立，则X^2与Y^2必相互独立，其逆不真。

例如：设（X,Y）的联合密度函数为

则可求出其边缘分布函数：

这个问题存在一根关键点，图1中为什么是

而不是图2中的

这是因为边缘分布中的大写（X,Y）代表的是随机变量，而小写的(x,y)代表的是一个数值。本文中的随机变量由X变成了X^2，而积分限还是x,所以出现图1的结果。

同样，按照联合分布函数的定义

可以求得

对于一切x,y恒有

通过以上的分析可以看出，即使两个变量不相互独立，与其有关的变量还是有可能相互独立。