高等数学笔记1
1.学问总结
学习高等数学，我们要研究函数
如何研究，使用数学界的一个基本研究方法，叫极限方法；
该方法描述函数对定点的无限逼近行为
对极限进行研究，为研究微分和积分的无限逼近行为做铺垫。
研究函数连续性是研究函数的重点方向
连续函数简而言之是不会突变的函数，其图像既可以是顺滑的曲线，也可以是多段折线
2.重点概括：
1）函数：复合函数、函数奇偶性（任意函数都可以写成一个奇函数和一个偶函数之和）、有界性与无界性
2）极限：极限三性质、极限存在两准则、无穷小的比较、无穷小量和有界变量之积的极限为无穷小量
3）连续：间断点的分类判断、闭区间上连续函数的性质
3.函数知识点：
重点：复合函数、函数奇偶性（任意函数都可以写成一个奇函数和一个偶函数之和）、有界性与无界性
函数：数集x上的每个数以某种确定的关系f都能找到另一个数集y上的数与之对应，叫y是x的函数
定义域：x ； 值域 y ；对应法则f；
相同数集上的数，按照相同的对应关系，就能得到相同的函数
复合函数：外层函数的定义域和内层函数的值域要有交集，这样两个函数组成的函数叫复合函数
复合函数定义域：由外层函数定义域和内层函数定义域共同确定D={x∣x∈Dg,g(x)∈Df}
反函数：函数的值域上的数y唯一对应定义域上的数x，这个对应关系下的x和y也满足y=f（x）这个对应关系就是f-1，这时以数集y为定义域构成的且对应数集x的函数为反函数x=f-1（y）
有无反函数的判断：x与y是否一一对应（一一映射）
单调函数必有反函数
y=f（x），与x=f-1（y）图像相同，与y=f-1（x）图像关于y=x对称
初等函数（这里不细致展开，作思维导图再来做）
函数性质：
单调性：区间上任意两点a<b，都有f（a）<f（b），单调增；都有f（a）>f（b），单调减；
奇偶性：定义域关于原点对称，偶函数无论x正负，y都一样；奇函数令x=-x，则y=-y。
（由奇偶性可以推导出一个结论：任意函数都可以写成一个奇函数和一个偶函数之和[函数本身+0也可能符合，但无意义]）
周期性：T>0，对于任意x有f（x+T）=f（x），则f（x）为周期函数，T为最小正周期
有界性：所有函数指都小于等于某个临界值M，则为有界函数
无界性：存在一个函数值为无穷大，则为无界函数
4.极限知识点：
重点：极限三性质、极限存在两准则、无穷小的比较、无穷小量和有界变量之积的极限为无穷小量
数列极限：数列Xn随n无限增大，Xn无限接近a
定义：任意ε>0，存在正整数N>0，当n>N时，有|Xn-a|<ε，则Xn趋于∞的极限为a
几何意义：Xn接近极限的点都在a点的ε邻域内，仅前N个有限的点则在邻域外（数列的极限与前N个点无关）
数列极限的充要条件：数列分出来的奇偶数列的极限相等且等于数列的极限
函数极限
1）自变量趋于无穷
概念：随x无限增大，函数无限接近A
定义：任意ε>0，存在X>0，当|x|>X时，有|f（x）-A|<ε，则f（x）的极限为A
函数极限的充要条件：左右极限存在且相等
推广：函数极限存在且为A，即数列极限存在且为A
2）自变量趋于有限值
概念：随x无限接近x0，函数无限接近A
定义：任意ε>0，存在δ>0，当0<|x-x0|<δ时，有|f（x）-A|<ε，则f（x）的极限为A
函数极限的充要条件：左右极限存在且相等
几何意义：f（x）在x0邻域的内的点都集中在y=A-ε和y=A+ε两个直线之间
函数极限的充要条件：左右极限存在且相等
注意：函数极限与x=x0点无关，与f（x0）无关
极限三性质
有界性：数列收敛必有界；函数有极限，则局部有界
保号性（重点）：极限和极限附近的数值的正负性相互决定
1）A ＞或＜0，则数列Xn（或函数f（x））＞或＜ 0
2）数列Xn（或函数f（x））≥或≤ 0，则A ≥或≤ 0
极限与无穷小关系：limf（x）= A 的充要条件是 f（x）= A + α（x），且limα（x）=0
几何意义：函数f（x）可分解为变量部分（无穷小函数α）+ 常数部分（极限值A）
极限存在两准则
夹逼定理：xn≤yn≤zn，且xn和zn的极限等于a，则yn的极限也等于a
（数列和函数都有相应的夹逼定理）
（题型：专用于求n项和数列极限）
单调有界必有极限：
1）单调增且有上界数列必有极限
2）单调减且有下界数列必有极限
（题型：专用于求递推关系的数列极限）
无穷小量
定义：极限为0的函数f（x）为无穷小量
比较：
1）无穷小量之比的极限为0，则分子是分母的高阶无穷小
2）无穷小量之比的极限为无穷大，则分子是分母的低阶无穷小
3）无穷小量之比的极限为常数，则分子是分母的同阶无穷小
4）无穷小量之比的极限为1，则分子是分母的等价无穷小
5）无穷小的阶：
无穷小量与另一个无穷小量的k次方之比为同阶无穷小，则该无穷小量是另一个无穷小量的k阶无穷小
性质:
1) 有限无穷小量之和仍是无穷小量
2）有限无穷小量之积仍是无穷小量
3）无穷小量和有界变量之积的极限为无穷小量
无穷大量：
定义：极限为无穷大的函数f（x）为无穷大量
比较：当x趋向正无穷时，任意正阶lnx 远小于 任意正阶x 远小于 任意a>1的指数函数
性质：
1）有限无穷大量之积仍为无穷大量
2）无穷大量与有界变量之和仍为无穷大量
有界变量：函数值在一定范围内波动
无界变量：存在某函数值接近无穷大
无穷大量必为无界变量，无界变量不一定是无穷大量，但无界变量内部一定包含无穷大量
无穷大量和无穷小量互为倒数关系
5.函数连续性知识点：
重点：间断点的分类判断、闭区间上连续函数的性质
连续的定义：
1）在点x0处，Δx趋向0，Δy趋向0,则函数在x0处连续
2）该点处的极限等于该点的函数值
连续的充要条件：左连续且右连续
间断点的定义：不连续的点为间断点
分类：
第一类间断点：（左右极限存在）
1）可去间断点：左右极限存在且相等的间断点
这种就是在连续函数上把点挖走，让它取其他函数值
2）跳跃间断点：左右极限存在但不相等的间断点
这种常见就是分段函数的断点
第二类间断点：（左右极限至少有一个不存在）
1）无穷间断点：左右极限至少有一个无穷大的间断点
这种就是属于有无穷大函数值的点
2）振荡间断点：该点处无定义但邻域有定义，且该点处左右极限不存在（不是无穷大），且在该点附近函数值波动
标志性函数：sin（1/x）
初等函数连续性：
1）基本初等函数都是连续函数
2）函数的加减乘除四则运算保留连续性
3）函数的复合运算保留连续性
总结：初等函数有局部连续性 —— 要么在定义域上连续，要么在其某个定义区间上连续
闭区间上连续函数的性质
1）最值定理： 闭区间上连续函数有最大最小值
2）有界性定理： 闭区间上连续函数必有界（这个界的数值就是最大或最小值的数值）
3）介值定理： 闭区间上连续函数的自变量可以取到介于最大最小值间的任意值
4）零点定理： 闭区间上连续函数零点左右两边的函数值异号
（常用于求方程根）
