量子场论（六）：实标量场的粒子态

对于动量对应的湮灭算符，假设真空态满足：

归一化为：

把哈密顿算符作用到真空态上，得到：

可见，真空态的能量本征值是零点能真空态是能量最低的态。把动量算符作用在真空态上：

因此真空态不具有动量。

定义动量为的单粒子态为：

是归一化因子。用哈密顿算符作用得到：

用动量算符作用得到：

可见，相比于真空态，单粒子态增加了能量与动量，两者满足质壳条件，因此，该单粒子态描述一个动量为的粒子，实标量场的质量即为该粒子的质量。

把湮灭算符作用在上面得到：

当时，没有可以让湮灭算符去湮灭的粒子，结果为零。当时，作用得到真空态。可见，湮灭算符的作用是湮灭掉（减少）一个动量为的粒子。

两个单粒子态的内积为：

这是个洛伦兹不变量。

之前提到过，标量场是算符，把标量场算符作用在真空态上得到：

它与单粒子态的内积为：

回顾量子力学，动量本征态与坐标本征态的内积为：

这两个内积的形式类似。因此可视为单粒子位置本征态，场算符的作用是在这个时空点处产生一个粒子。

定义动量分别为的个粒子的多粒子态为：

将哈密顿算符作用于其上，得到：

同理，动量算符作用给出：

多粒子态的能量动量本征值由各粒子叠加贡献。

由于产生算符相互对易，因此可以得到：

对调多粒子态的任意两个粒子，得到的态相同，说明实标量场描述的粒子是玻色子，称为标量玻色子，遵循玻色-爱因斯坦统计。

双粒子态的内积为：

定义动量均为的个粒子的多粒子态：

则粒子数密度算符对它的作用为：

在动量空间对粒子数密度算符进行积分，可得到粒子数算符：

把它作用在动量均为的个粒子的多粒子态上，得到：

因此，是粒子数算符的本征态，本征值为粒子数

更一般地，定义动量为的粒子分别有个的多粒子态为：

用粒子数算符作用于其上，得到：

可见，粒子数算符确实可以描述粒子总数。