非对称陀螺：详细的理论分析||刚体力学
//上次我们使用Mathematica数值模拟了自由刚体的转动过程。
//这里我们介绍相对完整的理论分析。
之前已经提过，对于固连在刚体上的Oxyz坐标系，角速度满足的微分方程组：
结合欧拉运动学方程
原则上可解非对称陀螺的运动。但是直接暴力求解相当困难，这里我们可以首先写出角动量和能量积分。总能量守恒：
虽然在固连在刚体的Oxyz系，角动量方向会变化，但模长仍然不变：
可以把动能也用角动量分量表示：
为了进一步推进，我们引入相空间：坐标轴为角动量的三个分量，与真实空间没有关系。相空间的每个点表示刚体的角动量矢量的一个值。
我们注意到，角动量积分在相空间是一个半径L的球面，而能量积分则得到一个椭球面。球面和椭球面的交线就是刚体的整个运动过程中，角动量必须处在的相空间中的曲线。不同的曲线代表不同初值下刚体的运动。
我们不妨改变球面半径(这相当于改变初值)，得到椭球面和不同球面的交线族：
不难根据目前的结果做出一些推断：
结论1 非对称陀螺的运动总是周期性的，这是因为前面得到的交线总是封闭曲线。
结论2 (Dzhanibekov定理)非对称陀螺绕转动惯量最大、最小的轴转动在微扰下稳定；否则不稳定。从上图就可以看出，曲线族在其中两个主轴附近均能形成闭合曲线，这意味着当初始角动量在这两个轴附近时，整个运动过程角动量都只会指向轴附近，体现为稳定转动；而在剩下一个轴附近所有曲线都远离这个轴，所以任意微扰都会导致Dzhanibekov效应。
继续，我们尝试对方程进行求解。直接从能量和角动量积分中暴力消去其中两个角速度：
然后代入
得到...
然后，分离变量，积罢！
当然，这是一个椭圆积分...还是稍微处理一下吧，不妨设. 定义几个量如下：
然后，就能得到...
这是椭圆积分的标准形式，得到雅可比椭圆函数：
再然后，就可以写出
其中，.
前面已经定义了tau，所以就解完了。
以及，非对称陀螺运动的周期是
其中，
所以，解这玩意还真麻烦...
后面该进入分析力学了...点个关注即可持续获取最新白给级物理笔记！
