初步理解函数空间

注: 其实我也没真的学过函数空间, 所以接下来的内容只是稍微自己总结的东西而已, 不能保证100%正确

什么是空间

空间即为点的集合

在空间里  原点, 基  这两个东西最重要.   原点就是坐标完全为0的一个点,   基为定义这个空间最基础的"方向"

以大家熟悉的二维平面直角坐标系为例

O就是原点,  而 i, j 就是这个空间的两个基

而在空间中任意一点P都可以表达为以下形式

特别地, 应该有: 

所有可能的权重 a, b 代入上述关系式中会得到一个关于ab的点集{P_ab}

***  所有可能的数字并不代表是全体实数或者复数,  而是结合实际情况得出的一个范围  ***

则这个点集{P}就称为基 i,j 张成的空间

当然, 在二维平面直角坐标系中, 两个基必须保持垂直, 但实际上两个基是没有必要正交的, 甚至没有必要长度为1

这个样子的基也完全可以张成一个二维空间, 而且空间内的点同样也会满足上述关系式

这里有一种特例:  当i和j平行的话, 就只能张成一维空间,  所以一般来说并不会讨论基平行的情况  (因为这里不是线性代数的课程= =)

同理可以应用到很多很多维的空间内

假设有n个互不平行的基 {φ_n},  那么这个基集张成的空间内任意一点为:

想了解关于基的更多信息可以去了解一下线性代数

如果我们选取基 [1],  那么原点就是0,  1*基 = 1,  那么如果权重为全体实数,  那么这个基张成的空间就是一维空间, 对应的概念就是实数轴

但是, 如果权重为全体复数, 那么张成的空间是几维的呢?    也就是在问, 复数所在的空间是几维的

如果可以马上想到复平面, 并且回答是2维的人, 不用恭喜了, 你就是错的

复数所处的空间是一维的!    正因如此我们才不会把形如 a+bi 的复数说成 一个数字,  而不是两个数字,  复平面只是为了让我们理解和使用的一个工具, 只是方便我们理解复数, 而不是使我们觉得复数就是一个平面

同理, 我们可以在很高很高的维度中使用复数, 张成的空间叫做复空间,   同理, 只用实数的空间张成的空间叫做实空间

不过有一个比较严重的问题, 一个n维的复空间, 如果我们想要直观地感受一个空间就需要2n个维度 (就如同复平面一样),  所以一般来说二维复空间已经是我们可以直观感受的上限了 tips: 第二个基的虚部使用颜色表示的话, 二维复空间就可以用一个带颜色的三维实空间表示了

接下来要提到两个空间内非常重要的概念: 内积 和 模

内积就是高中数学所说的数量积

在基互相垂直的空间内, 存在两个向量(或点), 则内积定义为:     ***  不知道需不需要基互相垂直这个条件, 直觉上需要, 懂得的读者欢迎在评论区科普一下 ***

其中b_n上面加一横代表是共轭复数,  共轭复数定义如下

内积内含了关于两个向量的长度和方向之类的信息, 非常非常有用

模就是高中数学说的向量的长度(完全不严谨的说法)

模的定义如下:

什么是函数空间

上面用了一千字稍微解释了 "空间" 这种东西,  那么所谓的函数空间就是 "使用函数作为基的空间"

函数作为基这个概念会有一点难理解,  (此处思考了半个小时都不懂得怎么跟读者解释这个概念= =,  毕竟数学里面还可以用空间作为其他空间的基, 这里真的非常对不起了)  不过我觉得还是把一个函数理解成一个箭头会毕竟方便

函数空间有两种维度,  一个和一般空间的定义相同: n个互相正交(正交就是垂直的意思)的基张成的n维空间,  另外一个就是函数自身的输入输出维度了,   一般来说函数空间的维度都是指前者, 并且绝对规定基函数的输入输出维度必须一致

在一个基函数集{φ_n}张成的函数空间中,  任意一个函数有以下定义   这里假设函数输入输出都是一维, 当然这个还是根据实际情况作相应变化的

其中, 零函数作为函数空间的零点:

同样在函数空间内也拥有内积以及模的定义:

所以说这么复杂的函数空间有什么用呢

别问, 问就是泛函分析