郑涛（Tao Steven Zheng）著

幂

古中国对平面形状面积的知识来源于土地测算的实践。因此，古中国数学家称所有平面形状为 “田”。《九章算术》第一卷 “方田” 里的方田、圭田、邪田、箕田、圆田、弧田、环田等平面形状，分别相当于矩形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圆形、弓形、圆环形。

面积是平面几何中最基本的概念之一。《九章算术》中的第一条术文，就以方田（矩形）的面积公式引入了这个概念：

方田术曰：广[1]从[2]步数相乘得积步。以亩法二百四十步除之，即亩数。百亩为一顷。

今译：方田解法：宽与长的步数相乘，得面积的 [平方] 步数。以亩法 240 [平方] 步除面积步数，就是亩数。100 亩为 1 顷。

[1] 广: 宽，横方向的宽度。

[2] 从: “从” 通 “纵”；长，竖方向的宽度。

刘徽注《九章算术》提出一个比较抽象的数学概念叫“幂”，从他对方田术的注释首次见 “幂” 这个字。

此积为田幂。凡广从相乘谓之幂。

今译：这种积叫做田的 “幂”。凡是宽与长相乘，就把它叫做 “幂”。

需要注意的是，这里 “幂” 的意思是面积，而不是现代数学指数的意思。

 

出入相补

“出入相补” 又称 “以盈补虚” 是古中国数学家常用的几何证明方法。吴文俊解释该原理是：

一个平面图形从一处移置他处，面积不变。又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系。

“出入相补” 这个词出自于刘徽在《九章算术注》对勾股定理的证明：

勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也。合成弦方之幂。开方除之，即弦也。

今译：勾自乘为朱色的正方形，股自乘为青色的正方形，使它们按照自己的类别进行出入相补，而使其余的部分不移动，就合成以弦为边长的正方形之面积。对之作开方除法，就得到弦。

 刘徽的证明原来应该有制图，可惜现已失传。图 1 是从以上述的文字复原的。

刘徽还有给出其它应用 “出入相补” 原理 （“以盈补虚”）来证明计算面积公式的实例。

【例1】圭田（等腰三角形）

《九章算术》给出三角形的面积公式为：

半广以乘正从。

今译：半底乘以高。

 刘徽解释这个公式的来源:

半广[3]者，以盈补虚为直田[4]也。亦可半正从[5]以乘广。

今译：取底的一半，是为了以盈补虚，使它变成长方形。又可以取高的一半，以它乘广。

[3] 广：这里指三角形的底。

[4] 直田：长方形。

[5] 正从：三角形的高。

【例2】邪田（直角梯形）

《九章算术》给出梯形的面积公式为：

并两邪[6]而半之，以乘正从若广。又可半正从若广，以乘并。

今译：相加上底和下底，折半，乘以高；或者半高乘以上底和下底之和。

 [6] 两邪：“邪” 通 “斜”，这里是指梯田的上底和下底。

 刘徽解释这个公式的来源:

并而半之者，以以盈补虚也。

今译：求其和，取其一半，这是以盈补虚。