平面几何题目分享（19）2023乌克兰奥林匹克几何题

圆内接四边形ABCD满足：AB，CD交于点Q，AD，BC交于点R，AC，BD交于点P。M,N分别为PR，PQ中点，MN分别交AR，AQ，BC，CD于X，Y，K，L。求证：圆（AXY）与圆（CKL）相切。

对于证两圆相切的问题，刻画切点是非常重要的。经验告诉我们，与完全四边形有关的证两圆相切的问题，切点大多数都是密克点。结合目测估计法，我们不难猜到这个切点就是完全四边形ABCDQR的密克点。我们现证两圆都经过这个点。

如上图，由于这个完全四边形比较特殊，所以其密克点就是点A在QR上的垂足。要证密克点E过两个红圆，即证ELCK，EYAX分别四点共圆。由平行及对视角相等，若有上述共圆，则∠LEC=∠LKC=∠BRQ=∠QAE=α。所以∠AQE=∠AYX=∠QEL=90°-α。所以我们只需证∠AYL=∠QEL。即证YLQE四点共圆。

这个四点共圆我们仍然可以用对视角相等来证明。利用完全四边形的调和性，我们有A，C，P，E成调和点列，所以QA，QC，QP，QE成调和线束。又因为XY∥QE，所以Y，N，L与XY方向上的无穷远点成调和点列，即N为YL中点。又因为N为PQ中点，所以PLQY是平行四边形。所以∠YPL=∠YQL。MN又是△PQR的中位线，PE⊥QR，所以P，E关于XY对称。由对称性，∠YPL=∠YEL=YQL。所以YLEQ四点共圆。

同理RXKE四点共圆，于是我们证明了点E是圆（CKL）与圆（AXY）的一个交点。

下面只需要证明两圆圆心连线经过点E。

简单导角，不难发现∠LEK=∠BAD=∠BAC+∠CAD=∠DQE+∠BRE。于是圆（LEQ）与圆（KER）相切。设圆（JKE）和圆（XYA）的圆心分别为F，G。易得∠FEK=90°-∠KLE=角CRQ。同理∠FEL=∠CQR。所以点F在圆（QLE）与圆（KRE）的内公切线上。同理点G也在公切线上。但由于圆（QLE）与圆（KRE）外切，所以内公切线只有一条，即EFG三点共线，即圆（AXY）与圆（CKL）相切。