技巧总结|立竿顶端影子轨迹速判规律

核心速览：优美的“立竿见影”轨迹

在大家最常见的非极昼地区，立竿顶端影子轨迹规律为：

①直射点在北半球时，轨迹为开口朝南的一支双曲线；

②直射点在赤道时，轨迹为一条东西向直线；

③直射点在南半球时，轨迹为开口朝北的一支双曲线。

双曲线开口朝向取决于直射点所在半球，与直射点所在半球方向相反。

同学们可根据竿影轨迹形态快速判断直射点所在半球与季节。

一、  “竿影轨迹”的错误乱象

“立竿见影”观测是一项很重要的实践活动，常被作为地理中地球运动类知识考察的命题情景素材。但在很多教辅资料、试题及地理课堂教学中，立竿顶端影子轨迹绘制存在很多主观随意性，出现了不少不严谨甚至明显错误的图像。而这些错误图像，又被当做正确的规律总结记忆，进而造成了错误的持续传播。例如下列很多师生很熟悉的轨迹图像。

二、  近年来“竿影轨迹”部分研究

错误存在的同时，也有教师通过实践观测以及计算模拟等方法，总结出了竿影轨迹的科学形态，并在杂志上撰写发表了相关文章。例如：

1.2010年数学汪和平老师在《探究日影运动轨迹》中通过数学计算，给出了影子轨迹方程的表达式，同时讨论分析了轨迹曲线的地理意义，给出了轨迹直线、双曲线、抛物线、椭圆和圆五种形态[1]。

2.2013年吴济廉老师在《影端轨迹周年变化的实践与分析——以北温带地区为例》文中总结，除二分日之外，其余日期的轨迹图都是双曲线中的一条（图4），并且在校园观测实践中也验证了上述结论（如下表）[2]。

3.2014年崔亚飞老师（本文作者）也在《秋分日校园日影轨迹观测实践及思考》文中通过校园观测实践总结：秋分日天津地区日影轨迹为一条东西向直线（图5），并通过天文软件模拟出天津地区二分二至日日影轨迹图像，清晰显示为双曲线和直线（图6）[3]。

4.葛云保先生在《谁见过地球绕着太阳转》一书（图7）中也给出了北温带二分二至日立竿影子扫描出的图案，也为双曲线和直线（图8）[4]。

5.2022年钟华老师在《信息技术在地球运动试题解析中的应用——以“竿影轨迹”为例》中通过编程软件图像模拟（图8、9），更全面地呈现了直线、双曲线、抛物线、椭圆和圆五种轨迹形态[5]。

对太阳和影子的观测是古代天文观测的重要内容，所以立竿影子轨迹规律以及计算方法在天文学上都是科学结论和公式，也是各类天文软件的运行的底层原理，只不过对于师生来说天文学比较难，因看不懂而陌生。在地理学科中，前辈的地理教师凭借经验简化处理，进而概括出了不符合实际但很容易理解的错误规律，且广泛传播。其实，“立竿见影”轨迹规律概括起来不仅不复杂，并且图像还丝滑优美。

三、  优美的“立竿见影”轨迹

在师生最常见的非极昼区域，立竿顶端影子轨迹特征概括为：

直射点在北半球时，轨迹为开口朝南的一支双曲线；

直射点在赤道时，轨迹为一条东西向直线；

直射点在南半球时，轨迹为开口朝北的一支双曲线。

双曲线开口朝向取决于直射点所在半球，与直射点所在半球方向相反。

同学们可根据竿影轨迹形态快速判断直射点所在半球与季节。

图10中显示立竿高度为1m时，45°N上二分二至日立竿顶端影子轨迹的示意图，其中红色虚线代表夏至日和冬至日日出日落方位。

对于一年中的其它日期，轨迹曲线介于冬至和夏至日曲线之间，越接近二至日，曲率越大；越接近春秋分，曲率越小，越接近直线。

如果考虑到高纬度极昼的特殊情况，地理位置从非极昼区域--极昼边界--极昼区域--极点移动，轨迹曲线则呈现双曲线--抛物线--椭圆--正圆的过渡变化。

四、  竿影轨迹规律的可视化

利用计算机技术实现轨迹图像表达，更有助于大家理解上述规律，下面提供两个辅助工具。大家可以自己操作实践，任意设置参数，看图像的变化或者参考下方视频。

1.几何画板实现图像可视化

这是2015年天津市耀华中学高一九班的孙雨辰同学的作品。他利用几何画板软件实现了太阳视运动轨迹、立竿顶端影子轨迹图像的绘制。你可以调节直射点纬度、所在点纬度、竿长等参数，观察轨迹的变化，立体直观形象。本文件你可以扫描二维码获取，自己操作体验。

戳一戳下方蜗牛为你准备的视频讲解，挥手和错误的日影轨迹告别，牵手优美的日影曲线吧。

2.Desmos网页编程可视化表达

这是浙江省春晖中学钟华老师的学生陈皓垲同学的作品。他利用网页编程实现了立竿顶端影子轨迹图像的科学绘制。你可以调节直射点纬度、所在点纬度、竿长等参数，观察轨迹的变化，平面坐标中绘制图像，科学准确。你可以扫描二维码自己操作一下。

五、  关于错误认知产生原因的思考

▼纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。在我和学生们2014年做秋分日观测实践之前，我也从来没有意识到以前的认知是错误的。无论是自己中学时代的做题解题，还是教学生涯的前几年的授课和交流，均没有对此产生异议，甚至也从未查阅过相关的资料，都是代代”心口相传“的经验。这可能是目前部分地理教师、学生、试题命制者依旧所处的状态。

反思一下，我觉得以下两个因素可能是造成错误认知的主因。

1.定量分析思维的短板

我们在总结地理规律时，多用的是定性分析思维。例如太阳高度和影子长短的是相反的关系，我们多关注长短变化，但是对长度具体数值，却很模糊。二者之间的函数关系，也是我们平时学习的短板，因此我们仅是根据长短关系，信手绘制了图像。例如前文图1的轨迹是符合一天中影子由长变短，正午最短，然后由变长的规律的，但是在中午前后却出现了两个峰值。这种奇怪的”突变“，不是什么特殊规律，而单单是图像画错了而已。

2.对于日出日落时影子的理想化处理

高中地理对于日出日落太阳方位学习的较多，所以我们看到日影轨迹两端，就想当然地认为是日出日落时候的影子。例如我们在总结北温带春秋分规律时，就常说日出时影子最长朝向正西，正午时影子最短朝北，日落时影子最长朝向正东。但是对于影子的长短并没有数值的概念，因此就很容易绘制出下面”看似正确“的错误图像。

同样当我们看像时，也很容易根据两侧影子方位，推测出日出东北日落西北，进而做出是夏至日附近的图像的错误判断。而实际上，才是春秋日附近的影子轨迹。

日出日落时，太阳高度角基本为零，物体影子理论无限长，此时根本就看不到影子顶端。只有当太阳有一定高度，物体明显的影子才会出现在我们的可观测范围内，此时影子朝向就不是日出日落方位的反方向了。所以，我们能观测到的轨迹，只是其中的一部分，两端不能代表日出日落的影子位置。

六、 太阳历广场--太阳运行规律的科普设施

太阳历广场是根据太阳周日视运动和周年视运动特征而实地设计和建造的具有实实在在测量、演示功能的大型地面广场，既可以作为天文科普设施，又可以作为地理教具，还可以作为城市的科学创意建筑。近些年来，一些中国城市和学校，都修建了规模不等的太阳历广场（图17、18、19 ） 。通过太阳历广场，人们可以更直观地体会到影子的运行规律。

以中国某校学校太阳历广场（图20）为例，对太阳历广场做基本介绍。

1.9根石柱

中间的石柱是当于“立竿见影”中的竿，其顶端影子会落入地面红色区域。正北和正南方2根石柱指示南北方向。剩余6根石柱代表二分二至日的日出日落方位，如图20所示。

需要提醒的是：
（1）夏至日日出日落的石柱位置，在红色区域内，不在区域的北部边界处；冬至日日出日落的石柱位置，在红色区域外，不在区域的南部边界处。其中的原理课参考图7和图10中的虚线示意，虚线的意义可类比双曲线的渐近线。
（2）夏至日日出、冬至日日落和立竿石柱位置理论上在一条直线上；
        冬至日日出、夏至日日落和立竿石柱位置理论上也在一条直线上；
（3）春秋分的石柱与中间石柱理论上在一条线上。

2.红色区域
红色区域代表竿顶端影子可能落入的区域。区域内会有精确的线条。以北京某地太阳历广场平面图（图21）为例，包括5条竿顶端影子轨迹，分别代表冬至、立春（立冬）、春分（秋分）、立夏（立秋）和冬至；和若干条大致放射状的时刻线，二者的交点就是当日此时刻影子所在的位置。当然精确的话，还可以设计更多的日期，比如把二十四节气都画上去。

从这个示意图中，你也可以进一步观察一下二分二至日，影子轨迹的直线和双曲线形态，还可以印证日日出日落方向石柱的位置特点。

3.黑色区域

正午时刻正南方的石柱的顶端影子会落入黑色区域，黑色区域地面有刻度和日期（二十四节气），观测正午时影子的长短变化来确定季节的变化。相当于中国古代的天文观测仪器“圭表”（如图X），黑色区域的刻度为“圭”，垂直于地面的石柱为“表”。

七、 小结

理论上，

东西向直线：全球各地春秋分日日影轨迹形态；
开口朝南或北的双曲线：太阳直射北半球或南半球时，全球各地非极昼区的日影轨迹形态；
开口朝南或北的抛物线：太阳直射北半球或南半球时，极昼非极昼区分界纬线上日影轨迹形态；
椭圆：全球极昼区域日影轨迹形态；
正圆；极点极昼时日影轨迹形态。

一种形态都对应着一种情景，根据形态我们可以快速确定所在地纬度，太阳直射半球等基本信息。

双曲线、抛物线、椭圆和正圆的过渡，让日影轨迹充满着数学的优美感。

参考文献：

[1]汪和平.探究日影运动轨迹[J].中学数学月刊,2010(09):29-30.

[2]吴济廉.影端轨迹周年变化的实践与分析——以北温带地区为例[J].地理教学,2013(10):57-59.

[3]崔亚飞.秋分日校园日影轨迹观测实践及思考[J].地理教学,2014(01):53-55.

[4]葛云保. 谁见过地球绕着太阳转[M]. 科学出版社, 2015.

[5]钟华,汪为青,张文军,钟文芳.信息技术在地球运动试题解析中的应用——以“竿影轨迹”为例[J].地理教育,2022(12):36-39.

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