学不明白的数学分析（五十六）

2023-02-17 21:38 作者:不能吃的大鱼 0人读过 | 我要投稿

经过了补充的预备节之后，有关反常积分的各种基本概念都交代的差不多了。可以看到，所谓反常积分，本质上就是对一般积分的推广，使之能够适用于更多场合，帮助我们解决更多的问题。

但是，我们虽然已经对其基本概念做足了讨论，但是就实际应用而言，有些积分我们未必求得出极限值，因此也就很难通过定义来判断反常积分本身到底是否收敛。为此，我们需要引进一些判别法，来帮助我们解决这一问题。

这里补充一句上一篇专栏忘记提及的点，就是说，虽然我们推广了可积函数的类别，但是要注意到，我们一直称无穷积分和瑕积分为广义积分。也就是说，尽管需要这两类积分的时候我们可以计算并给出结果，但是就一般情况而言，提及积分本身，我们仍然指的是Riemann和定义的常义积分，因此可积函数仍然要满足我们在定积分部分提到过的各种性质。（比如有界等等……）

记得区分可积函数类和广义可积函数类就好~

Chapter Sixteen 反常积分

16.1 非负函数无穷积分的收敛判别法

从积分的Riemann和定义，我们不难理解，其实所谓积分，就是极细分割下的离散求和。而由于分割极细，函数在一个小区间内的不同点处的区分已经十分不明显，因此我们就称积分是关于函数的一种连续求和。那么与之对应，在分割不是很细的情况下的求和就是一般的离散求和。

从这个含义上去理解，我们就不难说，实际上无穷积分和数项级数是一对对应的概念。因此，接下来我们我们所提到的各种判别法，只不过是在函数与数列都共有的性质上，将数项级数的判别法平推到了无穷积分上来。

（默认函数可积）

比如说：

设函数 $f$ 是定义在 $%5Ba%2C%2B%E2%88%9E)$ 上的非负函数，那么无穷积分收敛的充要条件是：

$%5Cint_a%5EAf(x)%5Ctext%20dx$

在 $%5Ba%2C%2B%E2%88%9E)$ 上有界。

以及类似的比较判别法及其极限形式，这些就交给大家自己去写一下吧~

特别地，我们要提一下无穷积分与数项级数的更深入的联系：

设函数 $f$ 是定义在 $%5Ba%2C%2B%E2%88%9E)$ 上的非负函数。若存在一非负且递增至正无穷的数列 $%5C%7BA_n%5C%7D$ ，使得级数：

$%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%E2%88%9E%20%5Cint_%7BA_n%7D%5E%7BA_%7Bn%2B1%7D%7D%20f(x)%5Ctext%20dx%20%5Cquad%20(A_1%3Da)$

收敛，则积分：

$%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7Df(x)%5Ctext%20dx$

收敛，且有：

$%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%E2%88%9E%20%5Cint_%7BA_n%7D%5E%7BA_%7Bn%2B1%7D%7D%20f(x)%5Ctext%20dx%20%3D%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7Df(x)%5Ctext%20dx$

（定理1）

证明不是很难，就交给大家自己完成吧~

最后，我们要指出一点，就是对于数项级数成立的必要条件对于无穷积分而言就不在有类似的限制，比如说：

$%5Cint_0%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%5Cfrac%7Bx%7D%7B1%2Bx%5E6%5Csin%20%5E2x%7D%20%5Ctext%20dx$

（积分1）

尽管：

$%5Cfrac%7Bn%5Cpi%7D%7B1%2B(n%5Cpi)%5E6%5Csin%20%5E2%20(n%5Cpi)%7D%20%5Crightarrow%20%2B%E2%88%9E$

因此：

$%5Cfrac%7Bx%7D%7B1%2Bx%5E6%5Csin%20%5E2x%7D%20%5Cnrightarrow%200$

但是这一积分仍然是收敛的。

Chapter Sixteen 反常积分

16.2 无穷积分的Dirichlet和Abel收敛判别法

从无穷积分的概念来看，可以说，无穷积分本质上是一种函数极限。因此，对于无穷积分收敛，也就不难想到有（以积分上限为正无穷的无穷积分为例）：

$%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Cexists%20%5Cdelta%20%EF%BC%9Ea%EF%BC%8C%5Cforall%20A%2CB%EF%BC%9E%5Cdelta%20%EF%BC%8C%5Cbigg%7C%5Cint_A%5EB%20f(x)%5Ctext%20dx%5Cbigg%7C%EF%BC%9C%5Cvarepsilon%20.%5CLeftrightarrow%20%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7Df(x)%5Ctext%20dx%20%E6%94%B6%E6%95%9B$

（Cauchy收敛原理）

类似地，对于无穷积分也有Weierstrass控制判别法，证明也是十分简单，在此不再赘述。并且，由于控制判别法存在，因此无穷积分也有绝对周练和条件收敛的概念，我们也不再多说。

对照数项级数，正常来讲，我们接下来就该介绍有关无穷积分收敛的Dirichlet判别法和Abel判别法了。我们回忆一下，在证明数项级数的这两个判别法的时候，使用了Abel分部求和公式以及Abel引理。为此，我们需要寻找在无穷积分方面与之类似的定理。

我们先来介绍一个定积分里比较重要的一个定理——第二积分中值定理。表述如下：

设函数 $f$ 在 $%5Ba%2Cb%5D$ 上可积， $g$ 在 $%5Ba%2Cb%5D$ 上非负，则：

（1）若 $g$ 在 $%5Ba%2Cb%5D$ 上递减，则一定存在 $%5Cxi%20%5Cin%5Ba%2Cb%5D$ ，使得：

$%5Cint_a%5Ebf(x)g(x)%5Ctext%20dx%3Dg(a)%5Cint_a%5E%5Cxi%20f(x)%5Ctext%20dx$ ；

（2）

若 $g$ 在 $%5Ba%2Cb%5D$ 上递增，则一定存在 $%5Cxi%20%5Cin%5Ba%2Cb%5D$ ，使得：

$%5Cint_a%5Ebf(x)g(x)%5Ctext%20dx%3Dg(b)%5Cint_%5Cxi%5Eb%20f(x)%5Ctext%20dx$

现在，我们对区间 $%5Ba%2Cb%5D$ 做任意的一个分割：

$%5Cpi%3Aa%3Dx_0%EF%BC%9Cx_1%EF%BC%9C%5Ccdots%EF%BC%9Cx_n%3Db$

并对每个子区间，利用（第一）积分中值定理，就有：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0A%5Cint_a%5Ebf(x)g(x)%5Ctext%20dx%26%3D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20%5Cint_%7Bx_%7Bi-1%7D%7D%5E%7Bx_i%7D%20f(x)g(x)%5Ctext%20dx%5C%5C%0A%26%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20g(%5Cxi%20_%7Bi%7D)%20%5Cint_%7Bx_%7Bi-1%7D%7D%5E%7Bx_i%7D%20f(x)%5Ctext%20dx%5C%5C%0A%26(%5Cxi%20_i%5Cin%5Bx_%7Bi-1%7D%2Cx_i%5D)%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

记：

$F(x)%3D%5Cint_a%5Exf(x)%5Ctext%20dx$

$b_i%3Dg(%5Cxi%20_i)$

因此，有：

$%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Ek%20a_i%20%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Ek%20%5Cint_%7Bx_%7Bi-1%7D%7D%5E%7Bx_i%7D%0Af(x)%5Ctext%20dx%3D%5Cint_a%5E%7Bx_k%7D%20f(x)%5Ctext%20dx%3DS_k%3DF(x_k)$

$b_1%5Cge%20b_2%5Cge%20%5Ccdots%20%5Cge%20b_n$

由Abel求和公式，有：

$%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20g(%5Cxi_i)%5Cint_%7Bx_i-1%7D%5E%7Bx_i%7Df(x)%5Ctext%20dx%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20a_ib_i%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn-1%7D%20S_i(b_i-b_%7Bi%2B1%7D)%2BS_nb_n$

由变上限积分的性质，我们知道 $F(x)$ 是区间 $%5Ba%2Cb%5D$ 上的连续函数，因此存在最值：

$m%5Cle%20F(x)%5Cle%20M$

则我们得到：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0A%5Cint_a%5Ebf(x)g(x)%5Ctext%20dx%26%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20g(%5Cxi%20_%7Bi%7D)%20%5Cint_%7Bx_%7Bi-1%7D%7D%5E%7Bx_i%7D%20f(x)%5Ctext%20dx%5C%5C%0A%26%5Cin%5Bm%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn-1%7D%20(b_i-b_%7Bi%2B1%7D)%2Bmb_n%2CM%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn-1%7D%20(b_i-b_%7Bi%2B1%7D)%2BMb_n%5D%5C%5C%0A%26%5Cin%5Bmb_1%2CMb_1%5D%5C%5C%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

又由连续函数介值定理，就有：

$%5Cforall%20c%5Cin%5Bm%2CM%5D%EF%BC%8C%5Cexists%20%5Cxi%5Cin%5Ba%2Cb%5D%EF%BC%8CF(%5Cxi)%3Dc$

进而得到：

$%5Cexists%20%5Cxi%5Cin%5Ba%2Cb%5D%EF%BC%8C%5Cint_a%5Ebf(x)g(x)%5Ctext%20dx%3DF(%5Cxi)g(%5Cxi_1)%3Dg(%5Cxi_1)%5Cint_a%5E%5Cxi%20f(x)%5Ctext%20%20dx$

由于我们对分割的做法是任意的，因此我们可以对分割取极限：

$%5C%7C%5Cpi%5C%7C%5Crightarrow%200$

此时， $%5Cxi%20_1%5Crightarrow%20a$ ，即：

$%5Cint_a%5Ebf(x)g(x)%5Ctext%20dx%5Cin%5Bmg(a)%2CMg(a)%5D$

于是，我们就得到了：

$%5Cexists%20%5Cxi%5Cin%5Ba%2Cb%5D%EF%BC%8C%5Cint_a%5Ebf(x)g(x)%5Ctext%20dx%3DF(%5Cxi)g(a)%3Dg(a)%5Cint_a%5E%5Cxi%20f(x)%5Ctext%20%20dx$

对于这一定理，我们有推广的结论：

设函数 $f$ 在 $%5Ba%2Cb%5D$ 上可积， $g$ 在 $%5Ba%2Cb%5D$ 上单调，则一定存在 $%5Cxi%20%5Cin%5Ba%2Cb%5D$ ，使得：

$%5Cint_a%5Ebf(x)g(x)%5Ctext%20dx%3Dg(a)%5Cint_a%5E%5Cxi%20f(x)%5Ctext%20dx%2Bg(b)%5Cint_%5Cxi%5Eb%20f(x)%5Ctext%20dx$

（第二积分中值推广定理）

证明留给大家。

利用推广后的第二积分中值定理，我们能够证明关于无穷积分的Abel引理：

设函数 $f$ 在 $%5Ba%2Cb%5D$ 上可积， $g$ 在 $%5Ba%2Cb%5D$ 上单调。若对任意的 $A%5Cin%5Ba%2Cb%5D$ ，有：

$%5Cbigg%7C%5Cint_a%5EAf(x)%5Cbigg%7C%5Cle%20M$

则：

$%5Cbigg%7C%5Cint_a%5Eb%20f(x)g(x)%5Ctext%20dx%5Cbigg%7C%5Cle%20M(%7Cg(a)%7C%2B2%7Cg(b)%7C)$

我们直接将对于无穷积分的Dirichlet判别法和Abel判别法叙述如下，因为这与数项级数高度一致：

（1）Dirichlet判别法：若

① $g$ 在 $%5Ba%2C%2B%E2%88%9E)$ 上单调，且 $%5Clim_%7Bx%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20g(x)%3D0%20$ ；

② $%5Cbigg%7C%5Cint_a%5EAf(x)%5Ctext%20dx%5Cbigg%7C%5Cle%20M%5Cquad%20(A%5Cin(a%2C%2B%E2%88%9E))$

则积分 $%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20f(x)g(x)%5Ctext%20dx$ 收敛；

（2）Abel判别法：若

① $g$ 在 $%5Ba%2C%2B%E2%88%9E)$ 上单调有界；

② $%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7Df(x)%5Ctext%20dx$ 收敛；

则积分 $%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20f(x)g(x)%5Ctext%20dx$ 收敛。

Chapter Sixteen 反常积分

16.3 瑕积分的收敛判别法

其实，这一节完全没必要再添加新的内容。（）

我们考虑瑕积分：

$%5Clim_%7B%5Cxi%20%5Cto0%5E%2B%7D%20%5Cint_a%5E%7Bb-%5Cxi%7D%20f(x)%5Ctext%20dx%20$

作变换：

$t%3Db-x$

就有：

$%5Clim_%7B%5Cxi%20%5Cto0%5E%2B%7D%20%5Cint_a%5E%7Bb-%5Cxi%7D%20f(x)%5Ctext%20dx%20%3D-%5Clim_%7B%5Cxi%20%5Cto0%5E%2B%7D%20%5Cint_%7Bb-a%7D%5E%7B%5Cxi%7D%20f(b-t)%5Ctext%20dt%20$

再变换：

$y%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bt%7D%20$

得到：

$%5Clim_%7B%5Cxi%20%5Cto0%5E%2B%7D%20%5Cint_a%5E%7Bb-%5Cxi%7D%20f(x)%5Ctext%20dx%20%3D-%5Clim_%7B%5Cxi%20%5Cto0%5E%2B%7D%20%5Cint_%7Bb-a%7D%5E%7B%5Cxi%7D%20f(b-t)%5Ctext%20dt%20%3D%5Clim_%7B%5Ceta%20%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cint_%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bb-a%7D%7D%5E%7B%5Ceta%20%7D%20%5Cfrac%7Bf(b-%5Cfrac%7B1%7D%7By%7D)%7D%7By%5E2%7D%20%5Ctext%20dy%20$

这是一个无穷积分，即：

$%5Cint_a%5Ebf(x)%5Ctext%20dx%3D%5Cint_%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bb-a%7D%7D%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7Bf(b-%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D)%7D%7Bx%5E2%7D%5Ctext%20dx$

于是，我们可以对函数：

$h(x)%3D%5Cfrac%7Bf(b-%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D)%20%7D%7Bx%5E2%7D%20$

进行研究，利用无穷积分的收敛判别法，得到有关于瑕积分的判别法。因此，我们就不再多说了。

Chapter Sixteen 反常积分

16.4 反常重积分

这一部分不是很重要吧，至少目前这一阶段是，于是几张图片展示一下即可~

思考：

证明定理1；
证明积分1收敛；
证明第二积分中值定理（2）；
证明第二积分中值推广定理；
证明无穷积分的Abel引理；
简单讨论瑕积分的收敛判别法；
判断下列积分的敛散性：

（1）

$%5Cint_1%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7Bx%7D%7B1%2Bx%5E2%7D%20%5Ctext%20dx$

（2）

$%5Cint_e%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7B%5Ctext%20dx%7D%7Bx(%5Cln%20x)%5Ep%7D%20$

（3）

$%5Cint_1%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20x%5E%7Bs-1%7De%5E%7B-x%7D%5Ctext%20dx$

（4）

$%5Cint_1%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7B(%5Cln%20x)%5Ep%7D%7B1%2Bx%5E2%7D%20%5Ctext%20dx%5Cquad%20(p%EF%BC%9E0)$

（5）

$%5Cint_0%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bx%7D%20%5Ccos%20x%7D%7B1%2Bx%7D%20%5Ctext%20dx$

（6）

$%5Cint_0%5E1%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bx%7D%20%7D%7Be%5E%7B%5Csin%20x%7D-1%7D%20%5Ctext%20dx$

（7）

$%5Cint_0%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%20%5Cfrac%7B%5Cln%20%5Csin%20x%7D%7B%5Csqrt%7Bx%7D%20%7D%20%5Ctext%20dx$
判断下列积分的收敛性（包括绝对收敛和条件收敛）：

（1）

$%5Cint_0%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bx%7D%20%5Csin%20x%7D%7B1%2Bx%7D%20%5Ctext%20dx$

（2）

$%5Cint_2%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7B%5Csin%20x%7D%7Bx%5Cln%20x%7D%20%5Ctext%20dx$

（3）

$%5Cint_0%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7Bx%5Ep%5Csin%20x%7D%7B1%2Bx%5Eq%7D%20%5Ctext%20dx%5Cquad(q%5Cge%200)$
证明：若：

①积分 $%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20f(x)%5Ctext%20dx$ 收敛；

② $%5Clim_%7Bx%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20f(x)%3Db%20$ 存在；

则 $b%3D0$ ；