Unit7 空间坐标系

【导论】

      研究空间直角坐标系，首先需要知道空间直角坐标系的定义，以及空间中两点间的距离公式。

向量是空间直角坐标系的重要角色。向量的基础概念在高中已经学习过，在回顾一遍。向量相等的条件是模的大小相等，方向一致，共线的条件则是方向一致或者相反。向量的基础运算，包括加减，乘法。还有与某一个向量方向一致，但是模的长度为1的，我们称之为单位向量。后面则可以讨论向量与空间直角坐标系的关系。向量向坐标轴投影，类似于我们高中所学的因式分解，将一个任意方向的向量分解为三个方向向量的加和，有助于我们对空间向量进行定量计算。描述一个空间中的向量，需要讨论它的模（长度）以及与x，y，z轴的方向。另外，在电脑文体中，以标红形式表示向量。

向量之间的积有三种，一种是较为简单的数量积，第二种是定义了与两向量所构成平面垂直的数量积，还有一种是同时运用了数量积和向量积的混合积。其中数量积最为常用，而向量积则在之后的空间线面计算中有奇效。

在学习完向量的知识以后，我们可以从面入手。空间中的面分为曲面和平面，曲面中又含有柱面和旋转曲面（这里讨论范围限定在椭球面，椭圆抛物面，椭圆锥面，单叶双曲面，双叶双曲面，马鞍面）这些用传统的几何方式难以解决，所以必须数形结合，用坐标，向量的知识配合图形以进行精准的定量计算。面可以用通用的方程F（x，y，z）=0来进行描述，而平面的方程则更为简洁，是关于x，y，z的一次方程，除了一般式之外还可以用点法式来进行描述，即知道垂直平面的向量以及过一定点，即可“横切”出一个平面。在对平面定量分析的基础上，可以计算两平面夹角和点面距离。

空间中的线，是三维空间中的二维结构，简单来讲就是两个面相交得出一条线。线分为曲线和直线，描述曲线的有一般方程和参数方程，描述直线的有一般方程，对称式方程和参数方程。而过直线的平面有无数个，可以推导出这些平面的集合，即平面束。关于直线的计算有两直线的夹角，线面夹角以及平行垂直的特殊情况讨论。

【正文】

一、坐标系

Ⅰ空间直角坐标系（八个卦象）

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 ab=|a||b|cosθ =a Prj （a） b

（2）向量积

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①大小：|c|=|a||b|sinθ

②方向：c垂直于a，b所在平面，且a向b旋转（a x b）时，若为逆时针则指向上方向，若为顺时针则指向下方向。

③平行判定：ax b=0

④运算定律

a x b+b x a=0

（a+b）x c=axc+bxc

（λa）xc=ax（ λc）

⑤行列式：关于向量积叉乘，我们可以用坐标的方式进行定量计算。

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（3）向量混合积

①定义：abc：（axb）c=（axc）b

②意义：表示为以a，b，c为棱的平行六面体的体积

 

三、面

Ⅰ曲面

1定义：x，y，z三者的关系方程可以描述曲面，即F(x,y,z)=0

2柱面：直线l作为母线，沿着定曲线C（即准线）平行移动形成的曲面为柱面。比如说，F(x,y)=0表示以C 为准线，l平行于z轴的柱面，其中z是任取的。

3旋转曲面：以YoZ上图形为例

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Ⅱ平面

1表示方式

（1）点法式：用已知点以及法向量来确定一个平面的办法。

①设M0：（x0，y0，z0），n=（A,B,C），M：（x，y，z）

②n MM0=0，A（x-x0）+B（y-y0）+C(z-z0)=0.这里运用的是向量垂直的基本法则

（2）一般式：Ax+By+Cz+D=0。这就是平面方程的待定系数

（3）截距式：x\a+y\b+z\c=1,  a,b,c为x，y，z轴截距

2相关计算

（1）平面夹角：用两个平面的法向量的夹角θ 来计算，两个平面的夹角即其法向量夹角（在0°与90°之间）。

Cosθ =|cos（n1，n2）|

（2）点到平面：Ax+By+Cz+D=0

P0：（x0,y0,z0） P1(x1,y1,z1) P1为垂足

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四、线

Ⅰ曲线

1描述

（1）一般方程：用两个面的方程组来确定一条曲线

F（x,y,z）=0

G(x,y,z)=0

（2）参数方程：

X=x(t)

Y=y(t)

Z=z(t)

2坐标面投影

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C为准线，l母线平行于z轴，C投影到XOY平面上，C’为投影曲线，投影柱面的方程可以描述为：

H(x，y)=0

z=0

Ⅱ直线

1描述方式

（1）一般方程（通用方程）

①A1x+B1y+C1z+D1=0

②A2x+B2y+C2z+D2=0

（2）对称式方程-参数方程

①设方向为s=（m，n，p），M0：（x0，y0，z0）为起点，

M（x，y，z）为线上点，M0M=（x-x0，y-y0，z-z0）

②向量平行公式：

(x-x0)\m=(y-y0)\n=(z-z0)\p

当m，n，p中分母有一项为零时，那么分子对应也为零

③由向量平行公式推导参数方程：

X=x0+mt

Y=y0+nt

Z=zo+pt

2相关计算

（1）两直线夹角

根据对称式方程，分母构成向量（m，n，p）与直线通向，那么向量的夹角其实就是直线的夹角

（2）线面夹角：

插图15

本质就是先求出直线与法向量夹角的余弦值，然后其余弦值等于线面角的正弦值。本质仍然是两直线夹角的求法

至于求线面交点，则联立方程来解答。

（3）平面束

一根直线可以在无数个平面之中，只要一个平面同时满足构成直线的两个方程组，那么这个平面则包含这条直线。我们把所有满足这样条件的平面集合称为平面束。

平面束基本形态

设线：A1x+B1y+C1z+D1=0

      A2x+B2y+C2z+D2=0

平面束表示为：A1x+B1y+C1z+D1+λ(A2x+B2y+C2z+D2)=0