【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep63】Ep62的中最后一小步错误的修正与补充
Ep62介绍了如何由“闭区间套定理”反推“单调有界原理”的证明，即——
已知：
闭区间套的无限序列——In=[an，bn]，n为正整数，满足：I1包含I2包含……包含In包含In+1包含……；
lim（bn-an）=0，n趋向于无穷大时——
则这些区间的公共部分为唯一的一点/一个数。
求证：单增有上界（单减有下界）数列必有极限。
分析：首先明确已知条件，“闭区间套定理”是要用到的工具，一个单增有上界的数列是对象，证明的目的是找到一个数，这个数恰好是这个数列的极限，用构造“闭区间套无限序列”的方法。
这个证明分了三部分，算是利用“闭区间套定理”去作为工具去证明题目的一个套路了，反正这些做数学题时候比较成规律的内容可以直接背下来，考试的时候即使完全不会，如果老师手软了，起码还能得点步骤分对吧？！——
Step1：构造闭区间套——找出一个数（要点：一个闭区间套等价于一个数，这是啥？一一对应啊，用一点代数的知识，就是）
已知数列{xn}，对于任意n，满足xn<xn+1，且存在实数b，使得xn<b——单增有界；
我们取正整数k，令a1=xk=a，b1=b，得到第一个闭区间[a1，b1]；
将[a1，b1]等分成两个闭区间，[a1，（a1+b1）/2]和[（a1+b1）/2，b1]——
如果（a1+b1）/2是{xn}的上界，那么令a2=a1，b2=（a1+b1）/2，
如果（a1+b1）/2不是{xn}的上界，那么令a2=（a1+b1）/2，b2=b1，
得到第二个闭区间[a2，b2]；
依次重复上述步骤……
将[ak，bk]等分成两个闭区间，[ak，（ak+bk）/2]和[（ak+bk）/2，bk]——
如果（ak+bk）/2是{xn}的上界，那么令ak+1=ak，bk+1=（ak+bk）/2，
如果（ak+bk）/2不是{xn}的上界，那么令ak+1=（ak+bk）/2，bk+1=bk，
得到第k+1个闭区间[ak+1，bk+1]；
……
将上述步骤无限进行下去，即得到一个闭区间套无限序列Im=[am，bm]，他们的拥有唯一公共点x。
Step2：再证明x=lim an=lim bn
反证法——
假如x不是{an}的极限，即，存在E>0，对任意自然数n，|an-x|>=E；
由x的构造可知，对于任意自然数n，an<=x<=bn；
由1,2可知，存在E>0，对任意自然数n，|bn-an|>=|an-x|>=E；
又lim|bn-an|=0，即对于任意小数ε>0，存在自然数N，当n>N时，|bn-an|<ε；
导出3,4矛盾，即x是{an}的极限；
同理，x是{bn}的极限，x=lim an=lim bn得证。
Step3：证明x即为数列{xn}的极限，即：对于任意小数ε>0，存在自然数N，当n>N时，|xn-x|<ε
由闭区间的定义，对于任意m，有am<bm，取右边极限，令m趋向于无穷，有am<=lim bm=x；
由闭区间的构造可知，对于任意自然数m，bm是{xn}的上界，即，对于任意m、n，xn<=bm，取右边极限，令m趋向于无穷，有xn<=lim bm=x；——（我们取遍所有的n值，都有xn<=lim bm=x，所以这个不等式恒成立）；
由于数列{xn}单调递增，所以对于任意m，存在N'，使得使得n>N'时，xn>=xN'>=am；
结合2、3，又对于任意m，存在N'，使得n>N'时，x>=xn>=xN'>=am；
又x=lim am，即，对于任意小数ε>0，存在自然数N"，当m>N"时，| am-x|<ε，即x-ε/2<am<x+ε/2；
结合4、5，有对于任意小数ε>0，存在自然数N=max{N'，N"}，当m>N，n>N时，x+ε>x>=xn>xN'>=am>x-ε，即|xn-x|<ε，即x为数列{xn}的极限，证毕。
这一步打的时候感觉就怪怪的，绕来绕去，最后发现还是错的，那些点赞收藏的宝宝是不是觉得sun了dog了，今天我们来聊聊老碧犯了一个怎样的错误，以及为啥会犯这个错误。
这个错误的症结其实在于，这里面涉及了两个变量，而这种表述是不能控制住双变量的。
分析——
首先，给定了一个m值，就会存在一个N'满足条件3；
给定了一个N'，也就对应了一个xN'的值；
结合1、2，给定了一个m值，即给定了xN'的值；
而给出了一个ε，则可以按照一定的关系确定了一个N"，以及此时的am取值范围；
所以以5为起点，给定一个ε，确定N"，得到am取值范围，但是每一个am都对应一个特定的N'，所以N"可以根据ε确定，而N'却不会同时确定下来，依然是一个变量，所以一个给定的常量和一个变动的量是无法取其中最大值的。
所以，修正这个错误的核心在于如何稳定下来N"的同时稳定下来N'。
修正如下：
综合4、5——
对于任意m>N"，存在N'，使得n>N'时，x>=xn>=xN'>=am；
对于任意小数ε>0，存在自然数N"，当m>N"时，x-ε/2<am<x+ε/2；
综上，对于任意小数ε>0，存在N'，使得n>N'时，x+ε/2>x>=xn>xN'>=am>x-ε/2，即|xn-x|<ε，即x为数列{xn}的极限，证毕。
