Phase Transition1

主要关注相变的三个toy model：

• Percolation model

• Ising model

• Potts model

  当然第三个是第二个的推广。

下面考虑的图全部是hypercubic lattice Z^d，它代表Z^d这个格点集合（作为V）加上所有邻近的边（作为E）组成的图。

说起来这跟实际物理系统的相变还是差的太远了。单纯是水蒸发这个过程我们了解的也很少。不过上面的这三个模型可以作为有限维相变的toy model。

Bernoulli Percolation

考虑(bond) Bernoulli percolation，即每条边独立地以概率p open(1)，1-p closed(0)。这样一个概率测度是良定义的，只需要通过有限维柱集构建出sigma field就行了。p作为相变的参数。比如说p=0.51的时候画出来的图就是这样的

可以看到存在一个很大的团簇。我们想要考察的现象是无穷大cluster的存在与否。我们考虑这样一个函数：

\theta(p)=P_p(0在一个无限大团簇里面)

显然这个函数具有如下性质：

• \theta(0)=0

• \theta(1)=1

• \theta(p)随p单调递增

• \theta(p)随维度d单调递增

这只是很粗糙的刻画。我们想知道(0,0)和(1,1)到底是怎么连接起来的。定义critical probability p_c:=\theta(p)开始大于0的点（inf）。下面的定理是研究的出发点：

对于d>1，0<p_c<1。

这个定理看起来很无聊，实际上是我们研究的出发点。它说明，在Bernoulli percolation中存在非平凡的相变现象，\theta(p)会从一段0之后的相变点上升到非0。这也是研究percolation的原因，如果没有相变，那就没什么奇怪的东西了。它至少让我们稍微看清了\theta(p)的样子，之后我们再去研究\theta(p)更加细致的刻画，把它的样子看得更清楚一些，比如是否连续，光滑，解析，等等。\theta(p)刻画的就是相变过程，对相变的研究就是对\theta(p)样子更清楚的分析。

要证明这个定理只是技术性的。下面来仔细分析一下。

第一部分是p_c>0。也就是要证明，对于很小的p，0所处的cluster必定是有限的。只需要做如下的概率估计：

P_p(0在无限大团簇中)

<=P_p(对于任意n，存在0出发长度为n的self-avoiding path)

<=P_p(存在0出发长度为n的self-avoiding path)（任选一个n）

<=(2d)^n P_p(存在0出发长度为n的某条特定的self-avoiding path)

=(2dp)^n

这就证明了p_c>=1/(2d)，是一个更强的bound。

多说一句，\theta(p)随d单调递增，说明p_c随d单调递减。而1/(2d)这个lower bound也是单调递减的。

第二个部分是p_c<1。这时候我们要请出更加有力的技术：对偶技术。

首先，因为\theta(p)随d单调递增，只需要证明二维的p_c<1。而对于二维平面，就可以做对偶。这个对偶是这样定义的：（直接画一张图就明白了）

于是对于比较接近1的p，可以做一个粗糙的概率估计：

1-\theta(p)

=P_p(0所处的cluster有限大)

=P_p(对偶图中有一个圈把0围住)

<=\sum_n P_p(对偶图中有一个圈把0围住，这个圈与x轴正半轴的交点为n+1/2)

=\sum_n P_p(对偶图中有一个边长至少为2n+4的圈把0围住，这个圈与x轴正半轴的交点为n+1/2)

<=\sum_n P_p(对偶图中有一个边长为2n+4的圈，这个圈与x轴正半轴的交点为n+1/2)

<=\sum_n 4^{2n+4}P_p(对偶图中有一个特定的边长为2n+4的圈，这个圈与x轴正半轴的交点为n+1/2)

=\sum_n (4(1-p))^{2n+4}<1

于是\theta(p)>0。证毕。

综上，我们证明了这个非平凡的相变现象的存在。

Lattice Spin Model

Lattice spin model相比于Bernoulli percolation就要复杂一点。一般的lattice spin model是这样定义的：同样是在d维格点上，每个格点赋予一个spin variable \sigma_x，spin一般地可以是一个向量，虽然在Ising/Potts模型里就是离散的一维数字。系统的状态由整体的spin configuration \sigma刻画，也就是所有\sigma_x的集合。

在这个系统上赋予概率测度。每个构型\sigma分配到的权重为

C用来归一化，其倒数就是配分函数（partition function）。Hamiltionian一般定义为相邻点spin的点积之和的相反数，也就是Ising的那个形式，用来刻画邻近粒子之间的相互作用。它的意义是：完全同质化的构型能量最低，最稳定。d\sigma这个测度怎么理解呢？它是“i.i.d.”的d\sigma_x的乘积测度，每个d\sigma_x相当于说：“高温极限”下，Hamiltonian变成0，每个spin都独立地按照某一个概率分布取值，这个概率分布就是d\sigma_x。所以说这个d\sigma_x可以理解为“没有相互作用的粒子的spin的概率分布”。在加上邻近粒子的相互作用之后，测度就畸变了，要乘上一个Hamiltionian的指数项。所以可以想见在高温下这个系统就是一片混乱，各个粒子都是各玩各的。

这个形式的测度叫做Gibbs测度，也就是统计力学里边熟悉的Gibbs分布的样子。\beta=1/(k_BT)即逆温度，是系统的相变参数。其物理含义是很明显的。温度很高，\beta很小，前面已经讨论过。温度很低，\beta很大，系统倾向于以大概率处于稳定点即完全同质化状态。可以想象这中间有一个相变。

到此为止这个概率测度还没定义好，因为上面的定义只适用于有限子图。如果要扩展到整个Z^d上，必须把图扩大，然后把测度取weak limit。这个现在只是一提，以后仔细看。

另外要区分自由边界(f)和边界条件约束(b)。在物理上，后者相当于说一块磁铁周边spin给定。二者的极限测度也不同。

上面的定义是一般的lattice spin model。取具体的spin和\sigma就可以得到不同的模型。比如说：

• Ising模型，spin取+-1，d\sigma取为counting measure。

• Potts模型，把Ising模型推广到多状态（q个状态）。d\sigma仍然取为counting measure。相同状态的Hamiltonian还是-1，不同状态则定义为1/(q-1)。这个1/(q-1)其实是无所谓的，变成其它数字只是相当于把\beta变换一下，算一下就知道了。

• Spin O(n)模型。它的spin取为单位球面，测度取为均匀测度。它的意思相当于说，自旋是一个自由旋转的单位向量（1维就变回Ising了），同样是自旋越接近能量越低，只不过变成了一个连续模型。

最后是lattice spin model的相变。它的相变相比于Bernoulli percolation也更复杂。可以用自发磁化、长程有序、correlation的指数下降来表征相变，这样就有三个critical inverse temperature。结果总结于下表：