【趣味数学题】勾股容圆《九章算术·勾股16》
郑涛 (Tao Steven Zheng) 著
【问题】
《九章算术·勾股16》
【原文】
今有勾八步，股十五步。问：勾中容圆径几何？
【今译】
假设一个勾股形的勾是 8 步，股是 15 步。问：勾股形中内接一个圆，它的直径是多少？
【题解】
设 为三角形的边长，其中
为斜边。令
为内接圆的半径、
为内接圆的直径。把直角三角形分成 6 块（图 1）：2 块朱色三角形、2 块青色三角形、2 块黄色三角形。
将把三种颜色的长方形复制 4 次（图 2 上），然后把两个同颜色的三角行拼成长方形（黄色三角形拼成正方形），再拼成一个大长方形（图 2 下）。用这个大长方形来推导 3 个不同计算内接圆值径的公式。
公式 1
大长方形的面积等于 4 个直角三角形的面积：
公式 2
从（图 2 下）中可以立即看出：
已知 和
, 所以
公式 1
公式 2
因此，内接圆的直径为6步。
《九章算术》的答案与解法
【原文】
答曰：六步。
术曰：八步为勾，十五步为股，为之求弦。三位并之为法，以勾乘股，倍之为实。实如法得径一步。
【今译】
答案：6 步。
解法：以8步作为勾，15步作为股，求它们相应的弦。勾、股、弦三者相加，作为法，以勾乘股，加倍，作为实。实除以法，得到直径的步数。
