【游戏策划】数值策划笔试练习题分享（一）：暴击击败丘丘人问题
之前由于去做数值/系统策划的实习了，因此专栏断更了比较久，现在打算重新开始写起来！把之前的英雄联盟数值拆解系列补完~中间会穿插一些其他内容的文章。
今天是回归后的第一篇专栏，打算分享一道数值策划笔试题，包括题目、思路、解答过程和一些简单拓展。答案和方法也许有优化的空间，欢迎大家一起讨论~解答过程也供自己日后参考。
2023.09.20 暴击击败丘丘人问题
丘丘人的生命值为100。你每次攻击时有50%的概率暴击，造成2点伤害；未暴击时造成1点伤害。
（I）求击败丘丘人的次数期望（使丘丘人生命值≤0即为击败，要求计算精确值）。
（II）在Rougelike模式中，丘丘人的生命值增长到了200。玩家有两次选buff的机会，第一次提供三类buff（注意有的是数值型数字，有的是百分比型数字哦~）：
a.暴击时伤害提升X1；
b.不论是否暴击，伤害提升X2；
c.每进行1次攻击，伤害提升X3。（注：当次攻击也享受当次的伤害加成）
第二次提供两类buff：
A.你的最终伤害提升Y1%。（注：来自其他BUFF的增伤也会受此最终伤害提升影响）
B.如果攻击后目标的血量值小于等于Y2，则目标立即被击败；
请设计X1、X2、X3、Y1、Y2的值，满足以下要求：
（1）X1、X2、X3、Y1、Y2单个buff互相近似平衡；
（2）要求玩家在选择最优的情况下，击败丘丘人的期望次数近似等于第（I）问中的50%。
（III）在第（II）问第二次选BUFF中，B选项的描述为“如果攻击后目标的血量值低于Y2，则目标立即被击败”，如果修改为“使目标的最大生命值降低Y2”；仅对本题而言，在数值计算和玩家体验上是否有区别？试简述之。
以下是解答过程：
（I）思路：
这是一个马尔可夫链，利用马尔可夫链的性质，求平均吸收时间；结合数列的递推公式即可求解。
解答：
设表示丘丘人血量为n时，击败丘丘人的期望次数。
显然当n=0时，目标已经达成，即；
当n=1时，下一次攻击目标必定达成，即；
当n≥2时，结合n=0与n=1的情况，可得递推公式（马尔可夫链的平均吸收时间）：
现在考虑将递推公式转化为通项公式，利用待定系数法构造等差数列，设
比较待定系数式和原式，可得
即
由等差数列首项和公差确定，可得
再次使用待定系数法构造等比数列，即
解得A、B，利用等比数列性质可得
代入n=100的情况，可得结果为
（II）思路：
首先要对5个buff进行数值平衡计算，计算后能得到5个变量的关系式。
两组buff实际上有6种选择方式，即aA，aB，bA，bB，cA，cB，本小题只要求结果近似相同，因此在计算时可以利用近似值计算。
解答：
（A）近似数值平衡
不妨设X2=x，则此时单次攻击的期望伤害变为
由第（I）问可知，击败次数期望的真实值近似等于丘丘人总生命值/单次攻击期望伤害，在下列数值平衡中应用此规律，攻击的期望次数近似为：
对X1：要求
可解得
对X3：第n次攻击的伤害应为
于是可得前n次攻击的伤害应为
此处取
令上式等于丘丘人的血量200，即
解得
对Y1：要求
解得
对Y2：按照次数近似有
解得
（B）Buff叠加计算
若第二组buff中选择了A：对a、b、c而言是扩大了相同倍数的伤害，因此可以认为近似
相同，以组合bA为例，此时若要使期望次数大致为（I）中的50%，buff下的单次期望伤害应为原来的4倍（BOSS的生命值增加了100%），即
解得x=1.5。
若第二组buff中选择了B：由于第一组中c这一Buff的成长性，因此当怪物能够被提前击
败时，其表现不如aB和bB，因此不妨考虑组合aB（aB和bB近似相同）。
此时若要使期望次数大致为（I）中的50%，此时的x应该满足
其中的100/3为满足题意时的近似期望次数，也解得x=1.5
因此最终取x=1.5，于是5个数值的设计值为
拓展：如果（II）中对数值设计的要求（2）修改为“要求玩家无论如何选择，击败丘丘人
的期望次数都至少近似于第（I）问中的50%。”这时应当如何设计？
（III）答案：
对本题而言，在数值计算上二者并无差异；但在玩家体验上我认为“如果攻击后目标的血量值低于Y2，则目标立即被击败”的方式更好，原因是：
（1）低于阈值后秒杀对方的行为通常称为“处决”或“斩杀”，这一行为能给玩家带来额外的快感。
（2）相比于BOSS被削弱，通过玩家变强的方式击败BOSS能带来更大的成就感。
拓展：本题言之成理即可，核心是要注重玩家的数值感受。
