三次方程该怎么解呢？

一元三次方程一般形式的解法

ax³+bx²+cx+d=0 ……⓪

(a,b,c,d皆为常数且a≠0)

令B=b/a,C=c/a,D=d/a

原方程为 x³+Bx²+Cx+D=0

令x=y+t (y为参变量 t为常数) 即有

y³+t³+3y²t+3yt²+B(y²+2yt+t²)+C(y+t)+D=0

整理得 y³+(3t+B)y²+(3t²+2Bt+C)y+(t³+Bt³+Ct+D)=0 ……①

因t为引入的辅助常数,故可以令t=-B/3消去①中二次项,结果不影响求解原方程.

再令①中一次项系数为p,常数项为q,即有

y³+py+q=0 ……②

②方程等价于原方程,且没了二次项的干扰.

在②中,令y=u+v

则②为 (u+v)³+p(u+v)+q=0

展开，整理可得 (u³+v³+q)+(3uv+p)(u+v)=0 ……③

在③中,我们不能确定(u+v)的值(即y的值)为何数,但由于u、v是我们为了解决②方程引入的参数,所以我们可以巧妙令取u、v的值,使它们能解决③方程.

令 u³+v³+q=0 ……④

3uv+p=0 ……⑤ ,满足③方程成立.

在④、⑤中移项,系数化一,可得

u³+v³=-q ……⑥

uv=-p/3 ……❶

将❶方程左右两边同时立方,联立⑥,得方程组(1)

u³+v³=-q

u³v³=-p³/27 ……⑦ (1)

在(1)中观察到,若将u³、v³视为一个整体,则(1)中⑥、⑦两方程刚好为两数之和与两数之积,由韦达定理可知,u³、v³刚好为方程X²+qX-p³/27=0 的两根X₁与X₂ .

不妨令u³=X₁ , v³=X₂

则由一元二次方程求根公式得

u³=X₁=[-q+√(q²+4p³/27)]/2

v³=X₂=[-q-√(q²+4p³/27)]/2 ,因其形式过于繁琐,以下姑且使用X₁ , X₂来标记u³与v³ .

考虑到方程

w³-1=0 ……⑧

因式分解⑧左边多项式得

(w-1)(w²+w+1)=0 ……⑨

易知⑨方程三根为w₁=1 , w₂=[-1+(√3)i]/2 , w₃=[-1-(√3)i]/2 ,其中i²=-1 .以下使用φ₁和φ₂分别代替w₂和w₃ .

回过头来看u³与v³,由⑧方程可解得u与v,即

u₁=³√X₁ v₁=³√X₂

u₂=φ₁(³√X₁) v₂=φ₁(³√X₂)

u₃=φ₂(³√X₁) v₃=φ₂(³√X₂)

故y₁=u₁+v₁=³√X₁+³√X₂

y₂=u₂+v₂=φ₁(³√X₁)+φ₁(³√X₂)

y₃=u₃+v₃=φ₂(³√X₁)+φ₂(³√X₂)

以下姑且使用y₁ , y₂ , y₃代替其对应的值.

换元复原,则有方程⓪的通解

x₁=y₁+t

x₂=y₂+t

x₃=y₃+t .