材料力学弯曲内力
弯曲是杆件的基本变形之一，是由垂直于杆件轴线的外力引起的，表现为原为直线的轴线变形成为曲线。其中，对称弯曲是当作用在梁上的载荷和支反力均位于纵向对称面内时，梁的轴线由直线弯成一条位于纵向对称面内的曲线的弯曲形式。
一、受弯杆件的简化
1．支座的基本形式
（1）固定铰支座
限制支承的横截面沿水平和垂直方向移动，相应的支座反力如图
（2）可动铰支座
使杆件沿支承面方向移动亦可绕支承点转动，相应的支座反力如图
（3）固定端
限制被支承的横截面沿水平和垂直方向移动和绕某一轴转动，相应的固定端的支反力如图
2．载荷的简化
（1）集中载荷
载荷的作用范围远小于杆件轴向尺寸。
（2）分布载荷
沿轴向连续分布在杆件上的载荷，常用 q 表示单位长度上的载荷，称为载荷集度，如风力、水力、重力。常用的有均布载荷，线性分布载荷。
（3）集中力偶
3．静定梁的基本形式
为方便梁的求解，通常将梁简化，以便得到计算简图。当梁上支反力数目与静力平衡方程式的数目相同时，即支反力通过静力平衡方程即可完全确定时，称之为静定梁，以下三种形式的梁均为静定梁。
（1）简支梁
一端为固定铰支座，一端为可动铰支座，如图
（2）外伸梁
一端或两端向外伸出的简支梁，如图
（3）悬臂梁
一端固定支座一端自由，如图
二、剪力和弯矩
1．剪力
剪力是指抵抗剪切作用的内力，是与横截面相切的分布内力系的合力。
符号规定：左侧相对于右侧有向上错动的趋势，或有顺时针转动的趋势，则剪力为正；反之，剪力为负。左侧梁段向上的外力引起剪力为正，右侧梁段向下的外力引起的剪力为正；反之为负。
对于平面曲杆（轴线为平面曲线，且荷载作用于纵向对称面内），规定：以剪力对所考虑一段曲杆内任一点取矩，若力矩为顺时针，则剪力为正。
2．弯矩
弯矩是指抵抗弯曲作用的力矩，是垂直于横截面的分布内力系的合力偶之矩。
符号规定：外力对截面形心的力矩使梁下凸上凹，弯矩为正；反之，弯矩为负。左侧梁段外力引起的顺时针弯矩为正，右侧梁段外力引起的逆时针弯矩为正；反之为负。
对于平面曲杆，规定：使轴线曲率增加的弯矩为正。
3．剪力方程和弯矩方程
（1）剪力（弯矩）方程：
以横坐标 x 表示横截面在梁轴线上的位置，表示各横截面上的剪力（弯矩）的函数表达式。（2）方法：
①根据梁上外力及其变化情况分段。
分段点：剪力方程的分段点是集中力作用处和分布荷载的开始、结束处。
弯矩方程的分段点是集中力、集中力偶的作用处和分布荷载的开始、结束处。
②在每段上以任意截面 x 作为代表，求其剪力 FS（x）和弯矩 M（x）。
三、剪力图和弯矩图的绘制
剪力图（弯矩图）：用平行于梁轴的横坐标 x 表示横截面的位置，以纵坐标表示相应截面上的剪力（弯矩），这种图线称为剪力图（弯矩图）。
绘制方法：
1．列方程作图
作图步骤：①求支座反力；②列内力方程；③根据方程绘制剪力图和弯矩图。
应注意的是：平面刚架的弯矩图应画在受压侧；平面曲杆的弯矩图画在轴线的法向方向，并画在受压侧。
2．利用载荷集度、剪力和弯矩间的关系作梁的内力图
（1）载荷集度 q（x）、剪力 FS（x）和弯矩 M（x）间三者之间的微分关系为
（2）利用推论绘制内力图
①若 q（x）＝0，则
因此，剪力图为平行于 x 轴的直线，弯矩图为斜直线，且当剪力为正值时，弯矩表现为单调增；剪力为负值时，弯矩图表现为单调减。
②若 q（x）＝常数，则
因此，FS（x）为斜直线，M（x）为抛物线图，且集度 q（x）的正负决定着剪力图的单调增或者减，以及弯矩图开口向上或者向下。
③若 q＝f（x），则剪力图为抛物线，弯矩图为三次曲线。
④若 FS（x）＝0，则
此时该截面上弯矩有极值（极大值或极小值）。此外，弯矩的极值还可能出现在集中力和集中力偶作用处截面。
⑤利用载荷、剪力与弯矩的关系校核所绘制的弯矩图和剪力图。任意两截面上的剪力之差等于相应两截面间载荷图的面积，任意两截面上的弯矩之差等于相应两截面间剪力图的面积。
3．外力与内力图的内在联系
（1）斜率规律剪力图在任一截面处的斜率值等于该截面外力分布载荷的集度值，同理弯矩图在任一截面处的斜率值等于该截面剪力值
（2）凹凸性规律集度 q 向下，为负，曲线图开口朝下。
（3）突变规律
在集中力作用的截面，剪力图在该处发生突变，突变高度等于该处集中力的大小；在集中力偶作用的截面，弯矩图在该处发生突变，突变高度等于该处集中力偶矩的大小。
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【1】．画出图所示梁的剪力图和弯矩图。[北京航空航天大学 2015 研]
解：由力的平衡方程∑Fy＝0，易知，固定端的剪力为 0。固定端的弯矩为M＝qa·a－qa2－qa·3a/2＝－3qa2/2剪力图、弯矩图如图
【2】如图所示，梁 AB 和 BC 在 B 处用铰链连接，A 端固定，C 端铰支。受力及各部分尺寸均示于图中，F＝40kN，q＝20kN/m。试画出梁的剪力图和弯矩图。[北京航空航天大学 2016 研]
解：以 BC 杆为研究对象，建立平衡方程∑M（B）＝0，FCy·4－2F＝0解得 FCy＝F/2＝20kN（↑）。∑Fy＝0，FCy＋FBy－F＝0解得 FBy＝20kN（↑）。A 截面处的弯矩为 MA＝（－1/2）×20×42－20×4＝－240kN·m
【3】．作如图 所示梁的剪力图和弯矩图。[南京航空航天大学 2018 研]
解：设固定端 C 点的支反力 FC向上，弯矩 MC顺时针。对 C 点建立平衡方程∑Fy＝0，－F－2q·2l＋FCy＝0解得 FCy＝5ql。∑M（C）＝0，－ql·3l＋m－2q·2l·l＋MC＝0解得 MC＝3ql2。剪力图和弯矩图如图
【END】本章首要任务是掌握剪力图弯矩图的绘制，具体可参考教科书。
https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzIyNjE0NDA5Mg==&mid=2247484315&idx=1&sn=6d4bab608571321cc0333c59f3c13dee&chksm=e875b9a8df0230be496b025d58dc1e9a7078953a072b04260965d8b50d18329d42294a363f37&scene=178&cur_album_id=2528330897279696899#rd
