速成抢救:物理光学(5)光的衍射(上)
本级提纲：干涉→衍射→惠更斯原理→惠更斯-菲涅尔原理→菲涅尔衍射积分公式→菲涅耳衍射公式→菲涅耳半波带法之圆孔、圆屏的菲涅尔衍射→菲涅尔波带片
续上一集，光的衍射是除了干涉外又一光的波动性主要标志。
知识点1、光的衍射定义
光在传播过程中遇到障碍物时偏离几何光学路径的现象被称为光的衍射。
显然用几何光学不能解释。最重要的历史人物是物理光学之父菲涅尔，他把惠更斯原理用干涉原理加以补充，发展成为惠更斯-菲涅尔原理。（虽然事实上衍射问题应该作为电磁场波的边值问题，但我们这门波动光学是脱离其麦克斯韦方程组的）
知识点2、惠更斯原理
惠更斯原理：波阵面上每一点都可以看做是一个次级扰动中心，所有这些次波中心所发出的球面次波的包络面就是某一后继时刻的波阵面。其等价描述有很多种版本，核心都是子波理论，如果面试问到了就想着上图那个旧包络和新包络的图说就行。
话说惠更斯原理曾给予我极大启发，我在其基础上参悟出了平方反比律背后的原理，并一举总结出了大学物理电磁学和电磁场与电磁波许多常考公式的大一统记法，我当时直呼我这不得写进教科书，奈何当年文笔似乎拉跨，没能获得领导赏识，后来也在B站发了视频但没啥动静。日后有机会再重新整理一遍，希望没人偷我前边把这事冲了。
惠更斯原理虽然是光的波动说的理论，但有很强的历史局限性。它本质上是几何光学时代的一种几何作图法或几何光学原理，它等价于直线传播定律+折反射定律。它没有提出任何光的波动的物理机制，所以惠更斯-菲涅尔原理才被视为物理光学的基本原理，所以惠更斯未能打败牛顿为首的微粒说，所以惠更斯原理不能解释光的干涉、衍射、还有倒退波等诸多问题，对于衍射，最主要的是没能解决定量问题，即衍射后的光强分布问题，这一问题遗留给了菲涅尔解决。
知识点3、惠更斯-菲涅尔原理
了不起的菲涅尔提出了当时较为完善的衍射理论——
惠更斯-菲涅尔原理：波前上每一点都可看做是次波中心，光场中某一点的扰动是包围光源的任一闭曲面波上所有点发出的次波在该点的相干叠加。
似乎猛一看没啥了不起。但实际上已经是极大的历史进步——在惠-菲原理看来，干涉和衍射本质上是相同的，均为次波相干叠加，区别仅在于次波源在空间上是离散的还是连续的，即光强分布的数学表达上是求和还是积分。
菲涅耳当时提出了菲涅尔衍射积分公式，后经基尔霍夫完善为菲涅尔-基尔霍夫衍射公式。但这公式很难解出解析解，因为难解，菲涅尔本人也不想干，于是提出了菲涅耳近似（非近似不成光学啊铁子们，一句话证明你看过速成抢救物理光学系列，手动狗头）
知识点4、菲涅耳衍射公式（菲涅耳衍射积分的菲涅耳近似版本）、夫琅禾费衍射
菲涅尔近似先是用了傍轴近似，又用了二项展开近似。形式比较复杂：
菲涅尔衍射公式的这一重要特点使之在信息光学中有了重要地位（基于角谱衍射理论），也使它在我们波动光学中非主流。
如果在其基础之上（源点和场点同时满足傍轴近似条件）继续施加近似条件，如果源点和场点同时满足远场近似，则有夫琅禾费衍射。因为它和菲涅尔衍射公式一样在波动光学里非主流了，所以不再展开。重点在下边的知识点5：
没错拽了半天文，第一个真正的重点
知识点5、菲涅耳半波带法之圆孔的菲涅耳衍射
解算复杂的积分在当时那个没有计算机的时代是不合算的，而利用几何对称性进行定性和半定量的分析，再结合一定的物理模型处理方法，往往也可以取得相当好的近似结果，比如菲涅耳衍射的一种分析方法：菲涅耳半波带法，当然由前述，它需要施加很强的几何对称性条件，所以我们只学两种：圆孔衍射和圆屏衍射。
菲涅尔半波带法实际上是魔改的干涉。核心概念仍是光程差。
如图，点光源的波阵面是球面，依据分波阵面法干涉相长、干涉相消的思想、惠-菲原理，把该球面分割为许多元波面，元波面的分割方式是以观察点P为圆心，取梯度半径作球面，这些梯度球面与点光源的波阵面形成一系列交线，相邻交线直接形成环带，这些环带就是波带，而“元波带”是指无限窄（这个无限窄是近似无限窄，即梯度差距远远小于图中的r0）的波带，即相当于一个没有厚度的球面，所以同一元波带上各点到观察到P的光程差可以认为是相同的，如此以来元波带们到P点的光程差就是梯度光程差，相邻元波带到P点的光程差均为梯度差距。
元波面划分完毕后，下一步的工作是分析这些元波带在P点的振幅和相位，以确定是干涉相长还是相消。由一系列我建议黑箱的推导过程，这些相邻波带们的振幅最终可以近似相等，所以一番相长相消的干涉叠加后
只剩下了两项，波带为奇数是相长，光强极大；波带为偶数是相消，光强极小。
菲涅耳半波带法实际上是简化版的矢量合成法：
矢量图解法是菲涅尔半波带法的更稠密的版本：
如果k无限大，即这个圆孔大到几何光学尺度，则没有衍射，直接为几何光学直线传播:：
知识点6、菲涅耳半波带法之圆屏的菲涅耳衍射
与圆孔菲涅耳衍射的分析类似，我们也考察轴上P点的扰动。用相同的办法可以求出圆屏所挡住的半波带数m。
上边这个图的符号有点小毒，这个m实际上应该是k。
这个结论很有意义，
（1）当P点距离衍射屏很近或者屏较大时，m很大即被遮挡住的菲涅耳半波带过多，P点接近黑暗。但当m不太大时，Ap总不为零，即屏后轴上总为亮点，这显然是违反直觉的，泊松以为自己赢了，没想到结局反转——该亮点被实验证实并命名为“泊松亮斑”，波动说赢下了又一关键战役。此役之后，惠-菲原理称为波动光学的基本原理。
（2）对比圆孔与圆屏的P点的振幅，在几何光学自由传播时均为第一个半波带的一半，事实上这引出了一个更普遍的原理
知识点7、巴比涅原理
巴比涅原理：一对互补屏各自在衍射场中某点所产生的复振幅之和等于自由传播时该点的复振幅。
知识点8、菲涅尔波带法之菲涅耳波带片
相邻的半波带是利用了干涉相消，我们也可以利用干涉相长来造出很亮的亮点：
对于首次科学探索衍射的人，这一结论是欧亨利式的，
图中的Rhk为第k个半波带的半径
如上图，菲涅尔波带片有类似于于薄透镜的物像关系公式。
尽管二者在功能上都可聚焦，但二者的机制、原理上是有较大区别的：
1、二者成像原理不同。普通透镜是物点到像点的等光程相长干涉；波带片是物点到像点的不等光程相长干涉，奇数半波带片或偶数半波带片相邻波带相差2π，光程差为一个波长。
2、波带片有一个主焦点，多个次焦点，除了这些实焦点，还有一系分居于波带片两侧光轴并关于波带片对称的虚焦点。也就是移动观察屏时，会得到一系列的亮点或亮斑。
3、波带片的色散关系与普通玻璃透镜相反。如图，波带片的焦距是波长的函数，随λ增大而减小。而普通透镜的焦距随波长的增大而增大。这一相反色散关系有时候可以相互校正纵向色差。
菲涅尔衍射在此暂告一段路，下一集更夫琅禾费衍射。
