史上最清晰-自动控制原理(西北工业大学-卢京潮)
复制我的笔记，粘贴到obsidian，才能显示公式：
- 线性定常系统微分方程是指形如下面的微分方程：
$$\frac{d^n}{dt^n}y(t) + a_{n-1}\frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}}y(t) + \cdots + a_1\frac{d}{dt}y(t) + a_0y(t) = b_m\frac{d^m}{dt^m}x(t) + \cdots + b_1\frac{d}{dt}x(t) + b_0x(t)$$
- 其中 $y(t)$ 是系统的响应（输出），$x(t)$ 是系统的激励（输入），$a_i$ 和 $b_i$ 是常数系数，$n$ 和 $m$ 分别是响应和激励的阶数。
- 这个方程描述了一个线性定常系统，它的响应 $y(t)$ 取决于激励 $x(t)$，并且系统的性质不随时间改变（即系统是定常的）。线性意味着系统响应的形式是输入信号形式的线性组合，即如果 $x_1(t)$ 和 $x_2(t)$ 分别是两个激励信号，则系统对它们的响应分别为 $y_1(t)$ 和 $y_2(t)$，那么对于任意实数 $c_1$ 和 $c_2$，$c_1 y_1(t) + c_2 y_2(t)$ 也是系统对于 $c_1 x_1(t) + c_2 x_2(t)$ 的响应。
- 这种类型的微分方程可以通过多种方法求解，包括拉普拉斯变换、Z 变换、频域分析等。求解结果可以用来预测系统响应对于不同的输入信号，以及系统对于特定输入信号的频率响应等。
- 构建自动控制系统的数学模型是自动控制原理中非常重要的一部分。下面是一些构建数学模型的基本步骤：
1. 定义系统：明确所要研究的系统的物理特性和控制目标。
2. 确定系统的输入和输出：输入是控制器提供给系统的信号，输出是系统的反馈信号。
3. 建立系统的动力学模型：根据系统的物理特性和控制目标，利用物理规律或实验数据建立系统的数学模型，通常使用微分方程或差分方程描述系统的动态响应。
4. 确定系统的传递函数：将系统的动力学模型转化为传递函数形式，以便进行频率域分析和控制器设计。
5. 进行模型验证和参数估计：通过实验或仿真验证模型的准确性，并对模型参数进行估计和校正。
6. 设计控制器：利用控制理论设计合适的控制器，以满足控制目标并保证系统的稳定性和鲁棒性。
7. 进行系统仿真和实验：使用数值仿真或实验平台验证控制器的性能和系统的稳定性。
- 需要注意的是，构建数学模型是一个 iterative 的过程，需要不断地验证和修正模型，以提高模型的准确性和可靠性。
-
- 解析法是一种常用的建立系统数学模型的方法，它利用系统的物理特性和运动方程式，通过数学分析和推导得到系统的数学模型。下面是建立系统数学模型的解析法步骤
1. 确定系统的输入和输出信号：系统的输入是控制器提供给系统的信号，输出是系统的反馈信号。
2. 定义系统的物理特性：明确系统的物理特性，包括质量、惯性、摩擦等参数。
3. 建立系统的运动方程式：利用牛顿运动定律等物理定律，建立系统的微分方程或差分方程模型，通常包括系统的动态方程、静态方程和代数方程。
4. 对系统方程进行变换：对系统方程进行拉普拉斯变换或者傅里叶变换，得到系统的传递函数模型。
5. 进行模型验证和参数估计：通过实验或仿真验证模型的准确性，并对模型参数进行估计和校正。
6. 设计控制器：利用控制理论设计合适的控制器，以满足控制目标并保证系统的稳定性和鲁棒性。
7. 进行系统仿真和实验：使用数值仿真或实验平台验证控制器的性能和系统的稳定性。
- 需要注意的是，解析法建立的数学模型通常具有较高的准确性和可解析性，但对于复杂的非线性系统，建立解析模型可能会比较困难。此时，可以采用数值模拟等方法来建立模型。
-
- 当判断一个微分方程是否是线性定常微分方程时，需要分别考虑以下两个方面：
1. **线性性**：微分方程中所有未知函数和它们的导数的系数都是常数，而且这些系数不依赖于未知函数自身或自变量的取值。如果微分方程满足这个条件，则称其为线性微分方程。
2. **定常性**：微分方程中的系数是不随时间变化而变化的，即它们是常数。如果微分方程满足这个条件，则称其为定常微分方程。
综合上述两个条件，如果微分方程同时满足线性性和定常性，则称其为线性定常微分方程。
例如，下面的微分方程是一个线性定常微分方程：
$$ \frac{d^2 y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} + 3y = \sin(x) $$`
这个微分方程是线性的，因为它只包含 $y$ 及其导数的线性组合，并且系数 2 和 3 是常数。它也是定常的，因为它的系数 2 和 3 不随时间 $x$ 的变化而变化。因此，这个微分方程是一个线性定常微分方程。
总之，判断一个微分方程是否是线性定常微分方程需要检查其线性性和定常性两个条件是否同时成立。
拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，常被用于求解微分方程和信号处理等问题。下面举一个简单的例子来说明拉普拉斯变换的概念和使用方法。
假设我们有一个时间域上的连续函数 $f(t)$，它表示某个物理过程的变化规律。我们希望通过拉普拉斯变换，将 $f(t)$ 转换到复平面上的频率域函数 $F(s)$，以便更好地研究和处理这个函数。
在拉普拉斯变换中，我们需要用一个复数变量 $s$ 来表示频率域，$s$ 可以看做是一个复平面上的点，具有实部和虚部两个部分。具体地，拉普拉斯变换定义为：
$$F(s) = \mathcal{L}{f(t)} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt$$
其中，$e^{-st}$ 是一个指数函数，$s$ 是一个复数。$F(s)$ 是 $f(t)$ 在频率域上的变换结果。
我们可以通过一个简单的例子来说明这个公式的应用。假设我们有一个函数 $f(t) = e^{-at}$，其中 $a$ 是一个常数。我们希望将其进行拉普拉斯变换，以求得 $F(s)$。
根据上面的公式，我们有：
$$F(s) = \mathcal{L}{f(t)} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} e^{-at} dt$$
对于这个积分，我们可以通过换元法和一些积分技巧来求解，最终得到：
$$F(s) = \frac{1}{s+a}$$
这个结果表示，当我们对 $f(t) = e^{-at}$ 进行拉普拉斯变换后，得到的频率域函数 $F(s)$ 是一个分式形式，分子为常数 $1$，分母为 $s+a$。这个结果也可以通过查表或使用拉普拉斯变换公式表来获得。
因此，我们可以使用这个结果来更好地研究和处理 $f(t)$ 所描述的物理过程的变化规律。
### 拉普拉斯变换：
当我们研究动态系统时，经常需要使用拉普拉斯变换来描述系统的行为。拉普拉斯变换是一种将一个函数从时间域（或空间域）转换为频率域的数学工具。通过拉普拉斯变换，我们可以将一个微分方程或差分方程转换为代数方程，这使得我们能够更方便地研究系统的特性。
具体来说，对于一个时间函数$f(t)$，它的拉普拉斯变换$F(s)$定义为：
$$F(s) = \mathcal{L}{f(t)} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt$$
其中，$s$ 是一个复数变量，$e^{-st}$ 是一个指数函数，$t$ 是时间变量。在这个积分中，我们对时间 $t$ 从 $0$ 到无穷大进行积分。
通过拉普拉斯变换，我们可以将微分方程或差分方程转换为代数方程。例如，对于一个线性时不变系统，它可以用一个微分方程来描述：
$$\frac{d^n y(t)}{dt^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1} y(t)}{dt^{n-1}} + \cdots + a_1 \frac{dy(t)}{dt} + a_0 y(t) = b_m \frac{d^m u(t)}{dt^m} + \cdots + b_1 \frac{du(t)}{dt} + b_0 u(t)$$
其中，$y(t)$ 是系统的输出，$u(t)$ 是系统的输入，$a_i$ 和 $b_i$ 是常数，$n$ 和 $m$ 是正整数。我们可以对这个微分方程进行拉普拉斯变换，得到：
$$s^n Y(s) - s^{n-1} y(0) - s^{n-2} \dot{y}(0) - \cdots - y^{(n-1)}(0) + a_{n-1} (s^{n-1} Y(s) - s^{n-2} y(0) - \cdots - y^{(n-2)}(0)) + \cdots + a_1 (s Y(s) - y(0)) + a_0 Y(s) = b_m (s^m U(s) - s^{m-1} u(0) - \cdots - u^{(m-1)}(0)) + \cdots + b_1 (s U(s) - u(0)) + b_0 U(s)$$
其中，$Y(s)$ 和 $U(s)$ 分别是输出 $y(t)$ 和输入 $u(t)$ 的拉普拉斯变换，$\dot{y}(0), y^{(1)}(0), \dots, y^{(n-1)}(0), u(0), u^{(1)}(0), \dots, u^{(m-1)}(0)$ 是 $y(t)$ 和 $u(t)$ 在 $t=0$ 时刻的导数或高阶导数。通过将微分方程或差分方程转换为代数方程，我们可以更方便地分析系统的特性，比如稳定性、响应时间等等。
除了将微分方程或差分方程转换为代数方程外，拉普拉斯变换还有其他一些应用。例如，在控制系统中，我们经常使用拉普拉斯变换来设计控制器和估计系统的状态。此外，拉普拉斯变换还可用于分析信号处理、电路分析等领域。
需要注意的是，拉普拉斯变换对于某些函数可能不存在，或者存在但是不收敛。此外，拉普拉斯变换也可能会导致频域中存在奇异点，这些奇异点可能会影响系统的稳定性。因此，在使用拉普拉斯变换时，需要注意函数的收敛性和奇异性，以便正确地分析系统的特性。
拉普拉斯变换里面的复数变量S是什么？
在拉普拉斯变换中，复数变量$s$通常表示频率域中的复频变量。这个复频变量通常取形如$s=\sigma+j\omega$的复数形式，其中$\sigma$和$\omega$都是实数。$\sigma$通常被称为实部，而$\omega$通常被称为虚部。在控制系统中，$\sigma$通常被称为阻尼比，而$\omega$则对应着角频率。
复频变量$s$的实部和虚部的物理意义是不同的。实部$\sigma$通常表示系统的阻尼程度，其值越大，系统越容易衰减或者发生振荡。虚部$\omega$则通常表示系统的频率，其值越大，表示系统响应的频率越高。
在拉普拉斯变换中，函数在复平面上的拉普拉斯变换是由积分$\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}dt$给出的。因此，复频变量$s$是拉普拉斯变换的自变量，它的取值范围可以是整个复平面。不同的$s$值对应着不同的频率响应，因此我们可以利用拉普拉斯变换将时域中的系统响应转换为频域中的系统响应，从而更加方便地进行系统分析和设计。
指数函数$e^{at}$的拉普拉斯变换定义为：
$$ \mathcal{L}{e^{at}} = \int_{0}^{\infty}e^{-st}e^{at}dt = \int_{0}^{\infty}e^{-(s-a)t}dt = \frac{1}{s-a}, \quad \text{Re}(s) > \text{Re}(a) $$
其中$a$是一个常数，$\text{Re}(s)$表示$s$的实部。需要注意的是，指数函数的拉普拉斯变换只在$s$的实部大于$a$时存在。
这个公式的意义是，指数函数$e^{at}$在频域中的变换结果是一个简单的分式形式，分母为$s-a$。因此，我们可以将指数函数在时域中的性质转换为频域中的性质，并且更加方便地进行系统分析和设计。
指数函数的拉普拉斯变换具有重要的物理意义，在控制系统中得到广泛应用。例如，当我们研究一个系统的自然响应时，指数函数可以表示系统的固有模态。在控制系统的稳态分析中，指数函数可以表示系统的稳态响应。在控制系统的传递函数分析中，指数函数可以表示系统的传递函数。因此，指数函数的拉普拉斯变换是控制系统分析和设计的基础之一。
正弦函数$\sin(\omega t)$的拉普拉斯变换不存在。这是因为，拉普拉斯变换是对一类函数进行变换的，而正弦函数并不属于这类函数。
具体来说，拉普拉斯变换对于时域函数$f(t)$的定义要求它在$[0,\infty)$上连续且指数衰减，即存在一个正数$M$和实数$\sigma$，使得$|f(t)| \leq Me^{\sigma t}$对于所有$t \geq 0$成立。然而，正弦函数在任何情况下都不满足这个要求，因为它是一个周期函数，并且振幅不会随着时间的增加而衰减。因此，正弦函数在拉普拉斯变换的意义下并没有意义。
需要注意的是，虽然正弦函数的拉普拉斯变换不存在，我们可以使用欧拉公式将正弦函数表示为指数函数的线性组合：
$$ \sin(\omega t) = \frac{1}{2j}\left(e^{j\omega t} - e^{-j\omega t}\right) $$
这个公式可以用于将正弦函数与其他可以进行拉普拉斯变换的函数进行组合，从而进行更加复杂的系统分析和设计。例如，我们可以将正弦函数与指数函数相乘，得到一个可以进行拉普拉斯变换的函数。
欧拉公式是一条将指数函数和三角函数联系起来的公式。它的表达式为：
$$ e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta $$
其中，$j$是虚数单位，满足$j^2 = -1$；$\theta$是一个实数，表示角度。
这个公式是用欧拉公式将正弦函数表示为指数函数的形式。具体来说，我们有：
$$ \sin(\omega t) = \frac{e^{j\omega t} - e^{-j\omega t}}{2j} $$
其中，$\omega$是一个常数，$t$是时间变量。这个公式可以通过欧拉公式和代数运算来证明。具体来说，我们有：
$$ \begin{aligned} \frac{e^{j\omega t} - e^{-j\omega t}}{2j} &= \frac{\cos(\omega t) + j\sin(\omega t) - (\cos(-\omega t) + j\sin(-\omega t))}{2j} \ &= \frac{\cos(\omega t) + j\sin(\omega t) - (\cos(\omega t) - j\sin(\omega t))}{2j} \ &= \frac{2j\sin(\omega t)}{2j} \ &= \sin(\omega t) \end{aligned} $$
因此，我们得到了原始的公式。
这个公式的意义是，正弦函数可以表示为两个指数函数的差分。其中，第一个指数函数具有正的指数项，第二个指数函数具有负的指数项。这两个指数函数通过欧拉公式与正弦函数相关联。在控制系统分析和设计中，这个公式常常用于将正弦函数转化为指数函数的形式，以便进行更加方便的系统分析和设计。
欧拉公式可以通过泰勒级数展开证明，也可以通过复变函数理论中的柯西-黎曼方程进行证明。不过，在控制理论中，我们通常将欧拉公式作为一条基本的性质，而不需要深入探讨它的数学基础。
欧拉公式的物理意义十分重要。它将指数函数和三角函数之间建立了联系，使得我们可以在复平面上进行运算，并将三角函数的性质转化为指数函数的性质。在控制系统分析和设计中，欧拉公式的应用十分广泛，例如，我们可以使用欧拉公式将正弦函数表示为指数函数的线性组合，从而进行更加方便的系统分析和设计。
需要注意的是，欧拉公式中的$j$和复数$i$有时会混淆。在控制理论中，我们通常使用$j$表示虚数单位，而使用$i$表示变量。但在其他领域中，$i$有时也会被用作虚数单位的表示。因此，在阅读相关文献时需要注意区分。
拉普拉斯变换的积分定理是指，对一个函数$f(t)$，它的拉普拉斯变换为$F(s)$，则$f(t)$在$[0,\infty)$上的积分可以表示为$F(s)$在$s$处的导数：
$$\int_0^\infty f(t) e^{-st} dt = \frac{d}{ds} F(s)$$
其中，$s$是复变量，$F(s)$的定义为：
$$F(s) = \int_0^\infty f(t) e^{-st} dt$$
这个定理的意义在于，它允许我们通过求函数的拉普拉斯变换来计算其积分，或者反过来，通过积分来计算其拉普拉斯变换。这个定理也常常用于求解微分方程和差分方程，因为在这些问题中，我们常常需要对函数进行积分或者求导。利用这个定理，我们可以将积分或者导数操作转化为对函数的拉普拉斯变换的求解。同时，这个定理还有许多变形和推广，例如，它可以扩展到更一般的积分范围，或者更高阶的导数。
拉普拉斯变换的微分定理是指，对一个函数$f(t)$，它的拉普拉斯变换为$F(s)$，则$f(t)$的导数$f'(t)$的拉普拉斯变换为$sF(s) - f(0)$，其中$f(0)$表示$f(t)$在$t=0$处的取值。
具体来说，设$f(t)$的拉普拉斯变换为$F(s)$，则$f'(t)$的拉普拉斯变换为：
$$ \begin{aligned} \mathcal{L}\{f'(t)\} &= \int_0^\infty f'(t) e^{-st} dt \\ &= \left[f(t) e^{-st}\right]_0^\infty + s\int_0^\infty f(t) e^{-st} dt \\ &= -f(0) + sF(s) \end{aligned} $$ 其中，$\mathcal{L}\{f(t)\}$表示$f(t)$的拉普拉斯变换，$s$为复数变量，$f(0)$表示$f(t)$在$t=0$时的取值。
这个定理的意义在于，它允许我们在拉普拉斯变换的域中进行微分操作，从而可以更方便地求解微分方程。同时，这个定理也有许多的推广和变形，例如，它可以扩展到更高阶的导数，或者更一般的函数形式。需要注意的是，微分定理只适用于$f(t)$在$[0,\infty)$上连续可导的情形。如果$f(t)$不满足这个条件，则需要对$f(t)$进行适当的变形或者补充，才能使用微分定理。
拉普拉斯变换微分定理指的是：
若$f(t)$在$[0,\infty)$上连续可导，且满足$\lim_{t\rightarrow \infty} f(t)e^{-st}=0$，则有：
$$\mathcal{L}{f'(t)}=s\mathcal{L}{f(t)}-f(0)$$
其中，$\mathcal{L}{f(t)}$表示$f(t)$的拉普拉斯变换，$s$为复数变量，$f(0)$表示$f(t)$在$t=0$时的取值。
下面给出这个定理的证明过程：
根据拉普拉斯变换的定义，有：
$$\begin{aligned}\mathcal{L}{f'(t)} &= \int_0^\infty f'(t)e^{-st} dt\&=[f(t)e^{-st}]_0^\infty+\int_0^\infty f(t)se^{-st}dt\end{aligned}$$
由于$\lim_{t\rightarrow \infty} f(t)e^{-st}=0$，所以$[f(t)e^{-st}]_0^\infty$这一项为$-f(0)$，于是可以得到：
$$\mathcal{L}{f'(t)}=s\mathcal{L}{f(t)}-f(0)$$
这就是拉普拉斯变换微分定理的证明。
这个定理的证明过程需要用到分部积分。下面我会详细阐述一下证明过程。
首先，根据拉普拉斯变换的定义，有：
$$\begin{aligned}\mathcal{L}{f'(t)} &= \int_0^\infty f'(t)e^{-st} dt\&=[f(t)e^{-st}]_0^\infty+\int_0^\infty f(t)se^{-st}dt\end{aligned}$$
其中，第一个等式使用了分部积分，第二个等式是因为$f(t)e^{-st}$在$t$趋近于无穷大时趋近于0，所以上式中第一项为$-f(0)$。
接下来，我们需要证明第二项是$s\mathcal{L}{f(t)}$。为此，我们可以写出$f'(t)$的导数：
$$f''(t)=\frac{d}{dt}\left(\frac{d}{dt}f(t)\right)$$
接下来，对$f(t)e^{-st}$进行两次分部积分，得到：
$$\begin{aligned}\int_0^\infty f(t)se^{-st}dt &= [f(t)e^{-st}]_0^\infty - \int_0^\infty f'(t)e^{-st}dt \ &= -f(0) - \mathcal{L}{f'(t)}\end{aligned}$$
其中，第一个等式使用了分部积分，第二个等式是因为$f(t)e^{-st}$在$t$趋近于无穷大时趋近于0，所以上式中第一项为$-f(0)$。
将上式代入到$\mathcal{L}{f'(t)}$的式子中，得到：
$$\mathcal{L}{f'(t)}=s\mathcal{L}{f(t)}-f(0)-\int_0^\infty f(t)se^{-st}dt$$
将上式中的第三项代入，可以得到：
$$\mathcal{L}{f'(t)}=s\mathcal{L}{f(t)}-f(0)+f(0)+\mathcal{L}{f'(t)}$$
化简后，即可得到：
$$\mathcal{L}{f'(t)}=s\mathcal{L}{f(t)}-f(0)$$
这就证明了拉普拉斯变换微分定理。
分部积分是一个求解积分的方法，用于将积分转化为更易求解的形式。它的基本思想是将积分中的乘积拆分为两个因子的积的形式，然后对其中一个因子求导，对另一个因子求积分，这样就可以将原来的积分转化为更简单的积分或者求值问题。
具体而言，设 $u(x)$ 和 $v(x)$ 是两个可导函数，那么根据乘积的求导法则，我们有：
$$(u(x) \cdot v(x))' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$
将上式两边同时积分，得到：
$$\int (u(x) \cdot v(x))' dx = \int u'(x) \cdot v(x) dx + \int u(x) \cdot v'(x) dx$$
根据不定积分的定义，左边的积分等于 $u(x) \cdot v(x)$，因此上式可以改写为：
$$u(x) \cdot v(x) = \int u'(x) \cdot v(x) dx + \int u(x) \cdot v'(x) dx$$
这就是分部积分公式的一般形式。我们通常把上式记作：
$$\int u(x) \cdot v'(x) dx = u(x) \cdot v(x) - \int u'(x) \cdot v(x) dx$$
这个公式也被称为分部积分公式。它的应用非常广泛，特别是在求解一些复杂的积分时，可以通过反复使用分部积分，将原始的积分转化为一系列更简单的积分，从而求得积分的值。
