不定积分的定义及性质

牛顿364、不定积分的定义及性质

 

不定积分（百度百科）：一个函数f的不定积分（或原函数，或反导数），是一个导数等于f的函数F，即F’=f。

…不，定，积、分、积分，定积分，不定积分：见《牛顿353~363》…

…函、数、函数：见《欧几里得52》…

（…《欧几里得》：小说名…）

 

…导、数、导数：见《牛顿288~294》…

 

不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。

…关、系、关系：见《欧几里得75》…

…基、本、基本：见《欧几里得2》…

…定、理、定理：见《欧几里得2》…

…微积分基本定理：见《牛顿358~363》…

解释

…解、释、解释：见《欧几里得56》…

 

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。

…公：见《欧几里得1》…

…式、公式：见《欧几里得132》…

…计、算、计算：见《欧几里得157》…

 

这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

…关、系、关系：见《欧几里得75》…
…数、学、数学：见《欧几里得49》…

…计、算、计算：见《欧几里得157》…

 一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。

连续函数，一定存在定积分和不定积分；

…连、续、连续：见《欧几里得44》…

 

若在有限区间[a，b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；

若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

 

性质

…性、质、性质：见《欧几里得37》…

1、函数的和的不定积分 等于各个函数的不定积分的和。即：设函数f（x）及g（x）的原函数存在，则：

∫[f（x）+g（x）]dx=∫f（x）dx+∫g（x）dx

…∫：积分符号，为字母s的拉长…见《牛顿338》…

…d：differential（微分）首字母…

[differential（英语）：n.（名词）差别；差额；差价；（尤指同行业不同工种的）工资级差。

adj.（形容词）差别的；以差别而定的；有区别的。

——《牛顿321》

 

dx什么意思？？——网友提问

2019-09-07，想玩游戏的猫：d（x）代表对x求微分。

dy/dx 中的d是“微小的增量”的意思，也就是指微小的增量y除以微小的增量x。在函数中是，微分的意思。

dx就是对x的微分，是把增量细微化，dx就是很小很小的一个x。

——《牛顿3》]

 

2、求不定积分时，被积函数中的常数因子可以提到积分号外面来。即：设函数f（x）的原函数存在，k为非零常数，则：

∫k f（x）dx=k∫f（x）dx

…常、数、常数：见《欧几里得132》…

…因、子、因子：见《欧几里得16》…

“若在区间I上，可导函数F（x）的导函数为f（x）[即对任一x∈I，都有：F’（x）=f（x） 或dF（x）=f（x）dx]，则称函数F（x）为f（x）在I上的原函数。

请看下集《牛顿365、不定积分的概念和性质；原函数存在定理》”

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