关于正弦和角公式的巧妙证法

初三的时候曾经在万维中考数学上看到一道题，里面用到正切和角公式解决非常轻松，当然这是恩师薛老师告诉我的。薛老师让我在探究正切和角公式之前可以先去探究一下正弦、余弦的和角公式，这样正切的和角公式也就能表示出来了。 在说我的证法之前，我需要先引出一个定理—托勒密定理。即：

针对这条定理的证明也很简单，有多种证法，其中初中证法就是将其转化为相似的问题上，这里我简单做一下证明：

那么接下来进入正题，如何用托勒密定理证明正弦和角公式呢？这里提供的是up的做法：

当时在学校花一个晚托时间证完给薛老师看的时候，他告诉我这确实是他目前见过最为简单的证法了，当然是站在我的知识领域上哈。如果这个证法存在错误或不足之处，或者有更为简单的证法，麻烦各位提出问题和提供意见。