以小求大:观察面积间的比例关系(2014湖南圆锥曲线)
(2014湖南,21)如图,
为坐标原点,椭圆
:
(
)的左、右焦点分别为
、
,离心率为
;双曲线
:
的左、右焦点分别为
、
,离心率为
,已知
,且
.
(1)求
、
的方程;
(2)过
作
的不垂直于
轴的弦
,
为
的中点,当直线
与
交于
、
两点,求四边形
面积的最小值.



解:(1)由题可知:
解得:,
,
所以、
的方程分别为:
、
.


如图,连接、

设直线的方程为
,
与椭圆联立得
,
依韦达定理:
,
,


所以
所以

所以
所以直线的方程为
.

与双曲线联立,消去,解得
.
显然,.


所以


的水平宽为
,
其铅锤高为


所以
当且仅当时取得最小值.